Matematyka.pl

Udowodnić, że przedostatnia cyfra liczby \(\displaystyle{ 3^n}\) jest parzysta.

Można też zauważyć, że jeżeli mnożymy jakąś liczbę przez liczbę jednocyfrową, to przedostatnia cyfra zależy od dwóch ostatnich cyfr.

Zatem mnożę przez trzy kolejne liczby, skracając je do złożonych z dwóch ostatnich cyfr:
\(\displaystyle{ 03, 09, 27, 81, 43, 29, 87, 61, 83, 49, 47, 41, 23, 69, 07, 21, 63, 89, 67, 01, 03, ...}\)

Jak widać wszystkie przedostatnie cyfry są parzyste. Koniec (mało subtelnego) dowodu.

A żeby tyle nie liczyć, wystarczy zauważyć, że `3^{n+4}-3^n=80\cdot 3^n` i sprawdzić tylko cztery pierwsze potęgi