Matematyka.pl

Dwie kości do gry zostały rzucone \(\displaystyle{ k}\) razy. Znajdź prawdopodobieństwo, że każda z sześciu kombinacji \(\displaystyle{ (1,1),(2,2)...(6,6)}\)
pojawi się co najmniej raz.

Znalazłem takie rozwiązanie i jest ono poprawne
Natomiast nie potrafię zrozumieć jaki tok rozumowania za tym stoi.

Odpowiedź: \(\displaystyle{ P(A)= \frac{ { 6\choose 0} \cdot 36^k-{ 6\choose 1} \cdot 35^k+{ 6\choose 2} \cdot 34^k- {6 \choose 3} \cdot 33^k +{ 6\choose 4} \cdot 32^k-{6 \choose 5} \cdot 31^k + { 6\choose 6} \cdot 30^k }{36^{k}} }\)

Czy byłby ktoś tak miły i pomógł mi zrozumieć ten sposób, bądź pokazałby inny?

Wg mnie najprościej popatrzeć na zdarzenie przeciwne - któraś z tych kombinacji nie pojawiła się ani razu.

Oznaczmy sobie \(\displaystyle{ A_i}\) - zbiór zdarzeń, że nie pojawiła się kombinacja \(\displaystyle{ (i,i)}\), \(\displaystyle{ i=1,2,3,4,5,6}\). Wtedy mamy do policzenia \(\displaystyle{ \mathbb{P}\left( \bigcup_{i=1}^6 A_i \right)}\) i bardzo wygodnie użyć wzoru włączeń i wyłączeń. Poszczególne prawdopodobieństwa liczy się prosto i wynik wychodzi w takiej postaci, jak pisałeś.