Strona 1 z 1
Pokazać nierówność
: 18 mar 2022, o 20:21
autor: kt26420
Dowieść, że
\(\displaystyle{ \ln(1+x) > 2\sum_{k=0}^n\frac{1}{2k+1}\left(\frac{x}{2+x}\right)^{2k+1} }\)
dla \(\displaystyle{ n = 0, 1, \ldots}\) oraz \(\displaystyle{ x>0}\).
Jak można coś takiego pokazać?
Jeśłi zrobię pochodną obustronnie, to wychodzi
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+x} > (?) 2\sum_{k=0}^n\left(\frac{x}{2+x}\right)^{2k}\left(\frac{1}{2+x}\right)^{2} }\)
Re: Pokazać nierówność
: 18 mar 2022, o 21:25
autor: a4karo
Nierówności dla funkcji zwykle nie przenoszą się na nierówności dla pochodnych.
A poza tym lewa strona jest równa prawej. Wskazówka do obliczeń:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^\infty \frac{t^k}{2k+1}=\mathrm{artanh}(t)=\frac{1}{2}\ln\frac{1+t}{1-t}}\)
Dodano po 7 minutach 2 sekundach:
Chociaż tutaj pomysł z pochodnymi to dobry trop:
pochodna lewej strony jest równa pochodnej prawej (o ile poprawnie obliczysz pochodną `x/(x+2)` i zsumujesz szereg geometryczny.
Re: Pokazać nierówność
: 19 mar 2022, o 16:37
autor: kt26420
a4karo pisze: 18 mar 2022, o 21:25
Nierówności dla funkcji zwykle nie przenoszą się na nierówności dla pochodnych.
A poza tym lewa strona jest równa prawej. Wskazówka do obliczeń:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^\infty \frac{t^k}{2k+1}=\mathrm{artanh}(t)=\frac{1}{2}\ln\frac{1+t}{1-t}}\)
Dodano po 7 minutach 2 sekundach:
Chociaż tutaj pomysł z pochodnymi to dobry trop:
pochodna lewej strony jest równa pochodnej prawej (o ile poprawnie obliczysz pochodną `x/(x+2)` i zsumujesz szereg geometryczny.
Niech
\(\displaystyle{ f(x) = \frac x{x+2}}\) for
\(\displaystyle{ x\geq 0}\). Wtedy
\(\displaystyle{ f(x) \in [0, 1)}\),
\(\displaystyle{ f(x) > 0}\) jeśli
\(\displaystyle{ x>0}\), i
\(\displaystyle{ \begin{eqnarray} (*) \frac 1{1+x} &=& \frac{2 f’(x)}{1-f(x)^2}\\
&=& 2f’(x) \sum_{k=0}^{\infty} f(x)^{2k}.
\end{eqnarray}}\)
Chciałam zrobić coś takiego... ale nie wiem czy to tak można robić, i że potem:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty} f(x)^{2k} = \sum_{k=0}^{n} f(x)^{2k} + \sum_{k=n}^{\infty} f(x)^{2k}}\), gdzie
\(\displaystyle{ n \in \NN}\), i potem powiedzieć że
\(\displaystyle{ \sum_{k=n}^{\infty} f(x)^{2k}}\) zbiega do jakieś stałej c, bo to szereg geometryczny i
\(\displaystyle{ \frac x{x+2}<1}\).
A potem scałkować obustronnie
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty} f(x)^{2k} = \sum_{k=0}^{n} f(x)^{2k} + c}\) Byłabym bardzo wdzięczna gdyby Pan mi pomógł to jakoś dokończyć...
Re: Pokazać nierówność
: 19 mar 2022, o 22:00
autor: a4karo
a4karo pisze: 18 mar 2022, o 21:25
Nierówności dla funkcji zwykle nie przenoszą się na nierówności dla pochodnych.
A poza tym lewa strona jest równa prawej. Wskazówka do obliczeń:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^\infty \frac{t^k}{2k+1}=\mathrm{artanh}(t)=\frac{1}{2}\ln\frac{1+t}{1-t}}\)
Dodano po 7 minutach 2 sekundach:
Chociaż tutaj pomysł z pochodnymi to dobry trop:
pochodna lewej strony jest równa pochodnej prawej (o ile poprawnie obliczysz pochodną `x/(x+2)` i zsumujesz szereg geometryczny.
Przepraszam za literówkę. Oczywiście miało być
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^\infty \frac{t^{2k+1}}{2k+1}=\mathrm{artanh}(t)=\frac{1}{2}\ln\frac{1+t}{1-t}}\)
Dodano po 7 minutach 55 sekundach:
kt26420 pisze: 19 mar 2022, o 16:37
Niech
\(\displaystyle{ f(x) = \frac x{x+2}}\) for
\(\displaystyle{ x\geq 0}\). Wtedy
\(\displaystyle{ f(x) \in [0, 1)}\),
\(\displaystyle{ f(x) > 0}\) jeśli
\(\displaystyle{ x>0}\), i
\(\displaystyle{ \begin{eqnarray} (*) \frac 1{1+x} &=& \frac{2 f’(x)}{1-f(x)^2}\\
&=& 2f’(x) \sum_{k=0}^{\infty} f(x)^{2k}.
\end{eqnarray}}\)
Chciałam zrobić coś takiego... ale nie wiem czy to tak można robić, i że potem:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty} f(x)^{2k} = \sum_{k=0}^{n} f(x)^{2k} + \sum_{k=n}^{\infty} f(x)^{2k}}\), gdzie
\(\displaystyle{ n \in \NN}\), i potem powiedzieć że
\(\displaystyle{ \sum_{k=n}^{\infty} f(x)^{2k}}\) zbiega do jakieś stałej c, bo to szereg geometryczny i
\(\displaystyle{ \frac x{x+2}<1}\).
A potem scałkować obustronnie
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty} f(x)^{2k} = \sum_{k=0}^{n} f(x)^{2k} + c}\) Byłabym bardzo wdzięczna gdyby Pan mi pomógł to jakoś dokończyć...
Ten pomysł nie wypali. Po pierwsze, "stała" `c` wcale nie jest stałą, po drugie scałkowanie
\(\displaystyle{ f^{2k}(x)}\) nie da Ci
\(\displaystyle{ \frac{1}{2k+1}f^{2k+1}(x)}\).
Spróbuj zrobić tak jak sugerowałem