Ostatnio rozpisałem to co powinniśmy dostać ze sposobu konstrukcyjnego
Równanie prostej przechodzącej przez punkty A oraz B
\(\displaystyle{ y-y_{B}=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}\left(x-x_{B}\right)\\
\left(x_{B}-x_{A}\right)\left(y-y_{B}\right)=\left(y_{B}-y_{A}\right)\left(x-x_{B}\right)\\
\left(y_{B}-y_{A}\right)\left(x-x_{B}\right) - \left(x_{B}-x_{A}\right)\left(y-y_{B}\right)=0\\
\left(y_{B}-y_{A}\right)x - \left(x_{B}-x_{A}\right)y +y_{B}\left(x_{B}-x_{A}\right) - x_{B}\left(y_{B}-y_{A}\right)=0\\
}\)
Równanie prostej prostopadłej do prostej AB oraz przechodzącej przez punkt C
\(\displaystyle{ y-y_{C}=-\frac{x_{B}-x_{A}}{y_{B}-y_{A}}\left(x-x_{C}\right)\\
\left(y_{B}-y_{A}\right)\left(y-y_{C}\right)=-\left(x_{B}-x_{A}\right)\left(x-x_{C}\right)\\
\left(x_{B}-x_{A}\right)\left(x-x_{C}\right)+\left(y_{B}-y_{A}\right)\left(y-y_{C}\right)=0\\
\left(x_{B}-x_{A}\right)x + \left(y_{B}-y_{A}\right)y -x_{C}\left(x_{B}-x_{A}\right)-y_{C}\left(y_{B}-y_{A}\right)=0\\
}\)
Tutaj przekształcenia będą poprawne jeżeli założymy że nie dzielimy przez zero
choć pewna dziewczyna która umieszcza filmiki na youtube mówiła że w geometrii wszystko jest w porządku jeśli wychodzi dzielenie
przez zero (z tangensa możemy wtedy wnieść że prosta jest prostopadła do osi OX)
Niech wierzchołkiem kąta będzie punkt B
Za punkt D obierzmy sobie punkt A
Niech
\(\displaystyle{ A_{1} = \left(y_{B}-y_{A}\right)\\
B_{1} = - \left(x_{B}-x_{A}\right)\\
C_{1} = y_{B}\left(x_{B}-x_{A}\right) - x_{B}\left(y_{B}-y_{A}\right)\\
A_{2} = \left(y_{C} - y_{B}\right)\\
B_{2} = -\left(x_{C} - x_{B}\right)\\
C_{2} = y_{C}\left(x_{C}-x_{B}\right) - x_{C}\left(y_{C}-y_{B}\right)\\
\left|AB\right| = c\\
\left|BC\right| = a\\
}\)
\(\displaystyle{
\begin{cases}\left(x-x_{B}\right)^2+\left(y-y_{B}\right)^2 = c^2 \\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0\end{cases}\\
\begin{cases}\left(x-x_{B}\right)^2+\left(y-y_{B}\right)^2 = c^2 \\ y=-\frac{1}{B_{2}}\left(C_{2}+A_{2}x\right)\end{cases}\\
\begin{cases}\left(x-x_{B}\right)^2+\left(-\frac{1}{B_{2}}\left(C_{2}+A_{2}x\right)-y_{B}\right)^2 = c^2 \\ y=-\frac{1}{B_{2}}\left(C_{2}+A_{2}x\right)\end{cases}\\
\begin{cases}\left(x-x_{B}\right)^2+\left(\frac{1}{B_{2}}\left(C_{2}+A_{2}x\right)+y_{B}\right)^2 = c^2 \\ y=-\frac{1}{B_{2}}\left(C_{2}+A_{2}x\right)\end{cases}\\
\begin{cases}\left(x-x_{B}\right)^2+\left(\frac{A_{2}}{B_{2}}x+\frac{C_{2}}{B_{2}}+y_{B}\right)^2 = c^2 \\ y=-\frac{1}{B_{2}}\left(C_{2}+A_{2}x\right)\end{cases}\\
\begin{cases}\left(x-x_{B}\right)^2+\left(\frac{A_{2}}{B_{2}}x+\frac{C_{2}}{B_{2}}-\frac{1}{B_{2}}\left(C_{2}+A_{2}x_{B}\right)\right)^2 = c^2 \\ y=-\frac{1}{B_{2}}\left(C_{2}+A_{2}x\right)\end{cases}\\
\begin{cases}\left(x-x_{B}\right)^2+\left(\frac{A_{2}}{B_{2}}x+\frac{C_{2}}{B_{2}}-\frac{A_{2}}{B_{2}}x_{B}-\frac{C_{2}}{B_{2}}\right)^2 = c^2 \\ y=-\frac{1}{B_{2}}\left(C_{2}+A_{2}x\right)\end{cases}\\
\begin{cases}\left(x-x_{B}\right)^2+\left(\frac{A_{2}}{B_{2}}x-\frac{A_{2}}{B_{2}}x_{B}\right)^2 = c^2 \\ y=-\frac{1}{B_{2}}\left(C_{2}+A_{2}x\right)\end{cases}\\
\begin{cases}\left(x-x_{B}\right)^2+\left(\frac{A_{2}}{B_{2}}\left(x-x_{B}\right)\right)^2 = c^2 \\ y=-\frac{1}{B_{2}}\left(C_{2}+A_{2}x\right)\end{cases}\\
\begin{cases}\left(x-x_{B}\right)^2+\frac{A_{2}^2}{B_{2}^2}\left(\left(x-x_{B}\right)\right)^2 = c^2 \\ y=-\frac{1}{B_{2}}\left(C_{2}+A_{2}x\right)\end{cases}\\
\begin{cases}\left(1+\frac{A_{2}^2}{B_{2}^2}\right)\left(x-x_{B}\right)^2 = c^2 \\ y=-\frac{1}{B_{2}}\left(C_{2}+A_{2}x\right)\end{cases}\\
\begin{cases}\left(\frac{A_{2}^2+B_{2}^2}{B_{2}^2}\right)\left(x-x_{B}\right)^2 = c^2 \\ y=-\frac{1}{B_{2}}\left(C_{2}+A_{2}x\right)\end{cases}\\
\begin{cases}\left(x-x_{B}\right)^2 =\frac{B_{2}^2}{A_{2}^2+B_{2}^2} c^2 \\ y=-\frac{1}{B_{2}}\left(C_{2}+A_{2}x\right)\end{cases}\\
\begin{cases}\left(x-x_{B}\right)^2 = B_{2}^2 \cdot \frac{c^2}{a^2}\\ y=-\frac{1}{B_{2}}\left(C_{2}+A_{2}x\right)\end{cases}\\
\begin{cases}x-x_{B} =\mp B_{2} \cdot \frac{c}{a}\\ y=-\frac{1}{B_{2}}\left(C_{2}+A_{2}x\right)\end{cases}\\
\begin{cases}x =x_{B} \mp B_{2} \cdot \frac{c}{a}\\ y=-\frac{1}{B_{2}}\left(C_{2}+A_{2}x\right)\end{cases}\\
\begin{cases}x =x_{B} \mp B_{2} \cdot \frac{c}{a}\\ y=-\frac{1}{B_{2}}\left(C_{2}+A_{2}\left(x_{B} \mp B_{2} \cdot \frac{c}{a}\right)\right)\end{cases}\\
\begin{cases}x =x_{B} \mp B_{2} \cdot \frac{c}{a}\\ y=-\frac{C_{2}}{B_{2}}-\frac{A_{2}}{B_{2}}x_{B}\pm \frac{A_{2}}{B_{2}}\cdot B_{2} \cdot \frac{c}{a}\end{cases}\\
\begin{cases}x =x_{B} \mp B_{2} \cdot \frac{c}{a}\\ y=y_{B}\pm A_{2} \cdot \frac{c}{a}\end{cases}\\
}\)
Wstawmy teraz obliczone współrzędne punktu
\(\displaystyle{ E}\) do warunku
\(\displaystyle{ \left(A_{1}x_{E}+B_{1}y_{E}+C_{1}\right)\left(A_{1}x_{C}+B_{1}y_{C}+C_{1}\right)>0\\
\left(A_{1}\left(x_{B} \mp B_{2} \cdot \frac{c}{a} \right) +B_{1}\left(y_{B}\pm A_{2} \cdot \frac{c}{a} \right) +C_{1}\right)\left(A_{1}x_{C}+B_{1}y_{C}+C_{1}\right)>0\\
\left(A_{1}x_{B}+B_{1}y_{B}+C_{1} \mp B_{2}A_{1}\cdot \frac{c}{a} + \pm B_{1}A_{2}\cdot \frac{c}{a} \right) \left(A_{1}x_{C}+B_{1}y_{C}+C_{1}\right)>0\\
\left(\mp \frac{c}{a}\left( B_{2}A_{1}-B_{1}A_{2}\right) \right) \left(A_{1}x_{C}+B_{1}y_{C}+C_{1}\right)>0\\
}\)
Jeżeli wybierzemy sobie znak
\(\displaystyle{ +}\) to warunek na wybór punktu E będzie można przedstawić następująco
\(\displaystyle{ \left( A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}\right) \left(A_{1}x_{C}+B_{1}y_{C}+C_{1}\right)>0\\ }\)
1. Przypuśćmy że punkt E ma współrzędne
\(\displaystyle{ \begin{cases}x_{E}=x_{B} - B_{2}\cdot\frac{c}{a}\\y_{E}=y_{B}+A_{2}\cdot\frac{c}{a}\end{cases}}\)
Równanie dwusiecznej będzie wyglądało następującą
\(\displaystyle{ \left(x_{B} - B_{2}\cdot\frac{c}{a}-x_{A}\right)x + \left(y_{B}+A_{2}\cdot\frac{c}{a} - y_{A}\right)y-x_{B}\left(x_{B} - B_{2}\cdot\frac{c}{a}-x_{A}\right)-y_{B}\left(y_{B}+A_{2}\cdot\frac{c}{a} - y_{A}\right)=0\\
\left(\left(x_{B}-x_{A}\right) - B_{2}\cdot\frac{c}{a}\right)x + \left(\left(y_{B}- y_{A}\right)+A_{2}\cdot\frac{c}{a} \right)y-x_{B}\left(\left(x_{B} - x_{A}\right) - B_{2}\cdot\frac{c}{a}\right)-y_{B}\left(\left(y_{B} - y_{A}\right)+A_{2}\cdot\frac{c}{a} \right)=0\\
\left(\left(x_{B}-x_{A}\right)a - B_{2}\cdot c\right)x + \left(\left(y_{B}- y_{A}\right)a+A_{2}\cdot c \right)y-x_{B}\left(\left(x_{B} - x_{A}\right)a - B_{2}\cdot c\right)-y_{B}\left(\left(y_{B} - y_{A}\right)a+A_{2}\cdot c \right)=0\\
}\)
Jeżeli do powyższego wstawimy współczynniki równania ogólnego prostej
\(\displaystyle{ AB}\) to otrzymamy
\(\displaystyle{
\left(\left(x_{B}-x_{A}\right)a - B_{2}\cdot c\right)x + \left(\left(y_{B}- y_{A}\right)a+A_{2}\cdot c \right)y-x_{B}\left(\left(x_{B} - x_{A}\right)a - B_{2}\cdot c\right)-y_{B}\left(\left(y_{B} - y_{A}\right)a+A_{2}\cdot c \right)=0\\
\left(-B_{1}a-B_{2}c\right)x+\left(A_{1}a+A_{2}c\right)y-x_{B}\left(-B_{1}a-B_{2}c\right)-y_{B}\left(A_{1}a+A_{2}c\right) = 0\\
-\left(B_{1}a+B_{2}c\right)x+\left(A_{1}a+A_{2}c\right)y+x_{B}\left(B_{1}a+B_{2}c\right)-y_{B}\left(A_{1}a+A_{2}c\right) = 0\\
\left(B_{1}a+B_{2}c\right)x - \left(A_{1}a+A_{2}c\right)y - x_{B}\left(B_{1}a+B_{2}c\right)+y_{B}\left(A_{1}a+A_{2}c\right) = 0\\
}\)
2. Przypuśćmy że punkt E ma współrzędne
\(\displaystyle{
\begin{cases}x_{E}=x_{B} + B_{2}\cdot\frac{c}{a}\\y_{E}=y_{B} - A_{2}\cdot\frac{c}{a}\end{cases}\\
}\)
Równanie dwusiecznej będzie wyglądało następująco
\(\displaystyle{
\left(x_{B} + B_{2}\cdot\frac{c}{a} - x_{A}\right)x+\left(y_{B} - A_{2}\cdot\frac{c}{a} - y_{A}\right)y - x_{B}\left(x_{B} + B_{2}\cdot\frac{c}{a} - x_{A}\right)-y_{B}\left(y_{B} - A_{2}\cdot\frac{c}{a} - y_{A}\right)=0\\
\left(\left(x_{B}-x_{A}\right)+ B_{2}\cdot\frac{c}{a}\right)x + \left(\left(y_{B} - y_{A}\right) - A_{2}\cdot\frac{c}{a} \right)y - x_{B}\left(\left(x_{B}-x_{A}\right)+ B_{2}\cdot\frac{c}{a}\right)-y_{B}\left(\left(y_{B} - y_{A}\right) - A_{2}\cdot\frac{c}{a} \right)=0\\
\left(\left(x_{B}-x_{A}\right)a + B_{2}\cdot c\right)x + \left(\left(y_{B} - y_{A}\right)a - A_{2}\cdot c \right)y - x_{B}\left(\left(x_{B}-x_{A}\right)a + B_{2}\cdot c\right)-y_{B}\left(\left(y_{B} - y_{A}\right)a - A_{2}\cdot c \right)=0\\
}\)
Jeżeli do powyższego wstawimy współczynniki równania ogólnego prostej [TeX]AB[/TeX] to otrzymamy
\(\displaystyle{
\left(\left(x_{B}-x_{A}\right)a + B_{2}\cdot c\right)x + \left(\left(y_{B} - y_{A}\right)a - A_{2}\cdot c \right)y - x_{B}\left(\left(x_{B}-x_{A}\right)a + B_{2}\cdot c\right)-y_{B}\left(\left(y_{B} - y_{A}\right)a - A_{2}\cdot c \right)=0\\
\left(-B_{1}a+B_{2}c\right)x+\left(A_{1}a - A_{2}c\right)y- x_{B}\left(-B_{1}a+B_{2}c\right)-y_{B}\left(A_{1}a - A_{2}c\right)=0\\
-\left(B_{1}a - B_{2}c\right)x+\left(A_{1}a - A_{2}c\right)y + x_{B}\left(B_{1}a - B_{2}c\right)-y_{B}\left(A_{1}a - A_{2}c\right)=0\\
\left(B_{1}a - B_{2}c\right)x - \left(A_{1}a - A_{2}c\right)y - x_{B}\left(B_{1}a - B_{2}c\right) + y_{B}\left(A_{1}a - A_{2}c\right)=0\\
}\)
I to mi wyszło po rozpisaniu tego sposobu
Użytkownik
KowalskiMateusz
napisał że on gdy chciał narysować okrąg wpisany w trójkąt to utworzył sobie dwa wektory zaczepione w wierzchołku A
i końcach w pozostałych wierzchołkach trójkąta następnie z tych wektorów zbudował romb którego przekątna będzie dwusieczną kąta
Czy ten pomysł ma sens i czy rzeczywiście da tylko jedno równanie dwusiecznej i to kąta wewnętrznego
Zarówno w sposobie konstrukcyjnym przedstawionym tutaj jak i porównując odległości punktu od ramion kąta dostajemy dwie proste
i musimy którąś wybrać
Gdyby sposób przedstawiony przez użytkownika
KowalskiMateusz
dawał tylko jedną prostą dla dwusiecznej kąta to byłby dość wygodny jeżeli nie mamy danych liczbowych
tylko wykonujemy obliczenia na literkach