zadanie maturalne - reszta z dzielenia wielomianu
: 17 mar 2022, o 17:07
W próbnej maturze z 2010 pojawiło się takie oto zadanie:
Reszty z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ (x-1)}\), \(\displaystyle{ (x+1)}\), \(\displaystyle{ (x+2)}\) są równe odpowiednio \(\displaystyle{ 1}\), \(\displaystyle{ -1}\), \(\displaystyle{ 3}\). Znajdź resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)=(x-1)(x+1)(x+2)}\)
W rozwiązaniach przedstawili takie rozumowanie:
"Zdający zapisze wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) za pomocą wielomianu niezerowego \(\displaystyle{ Q(x)}\), wielomianu \(\displaystyle{ P(x)}\) i reszty \(\displaystyle{ R(x)= ax^{2}+bx+c}\).
\(\displaystyle{ W(x) = Q(x) \cdot P(x)+ax^{2}+bx+c}\)"
Dalej korzystają z twierdzenia o reszcie i wyliczają wspólczynniki w reszcie.
Ale zastanawia mnie, skąd wiadomo, że reszta będzie postaci równania kwadratowego?
Reszty z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ (x-1)}\), \(\displaystyle{ (x+1)}\), \(\displaystyle{ (x+2)}\) są równe odpowiednio \(\displaystyle{ 1}\), \(\displaystyle{ -1}\), \(\displaystyle{ 3}\). Znajdź resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)=(x-1)(x+1)(x+2)}\)
W rozwiązaniach przedstawili takie rozumowanie:
"Zdający zapisze wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) za pomocą wielomianu niezerowego \(\displaystyle{ Q(x)}\), wielomianu \(\displaystyle{ P(x)}\) i reszty \(\displaystyle{ R(x)= ax^{2}+bx+c}\).
\(\displaystyle{ W(x) = Q(x) \cdot P(x)+ax^{2}+bx+c}\)"
Dalej korzystają z twierdzenia o reszcie i wyliczają wspólczynniki w reszcie.
Ale zastanawia mnie, skąd wiadomo, że reszta będzie postaci równania kwadratowego?