Matematyka.pl

Na odcinku \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right] }\) umieszczono losowo punkty \(\displaystyle{ A_1, A_2, A_3}\). Jakie jest prawdopodobieństwo, że \(\displaystyle{ A_1 \le A_2 \le A_3}\).

Odpowiedź: \(\displaystyle{ \frac{1}{6} }\)

Prosiłabym o wyjaśnienie tego zadania ( tylko proszę nie całkami - widziałam już takie rozwiązanie i kompletnie do mnie nie przemawia 0.

Punkt `(A_1,A_2,A_3)` leży w sześcianie jednostkowym. Czym jest obszar opisany nierównościami `A_1\le A_2\le A_3`? Wzór na objetość tego obszaru jest powszechnie znany.

To będzie ostrosłup, który w podstawie ma trójkąt prostokątny.
Jeżeli przez \(\displaystyle{ x,y,z}\) oznaczę odległości odpowiednio punktów \(\displaystyle{ A_1,A_2,A_3}\) to obliczając objętość figury otrzymam.
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{6} \cdot x \cdot y \cdot z }\)
Co dalej?

Pierwsze zdanie jest ok. Czy wiesz jakie są wierzchołki tego ostrosłupa? Jaka jest jego objętość? (Uwaga, ten ostrosłup nie zależy od `A_i`).

Drugiego zdania nie rozumiem. Odległości mierzymy zawsze między czymś lub od czegoś, więc nie istnieje coś takiego jak odległość punktu.

Mówiąc szczerze, nie wiem jak należy to zrobić.
Chciałam odnieść to do sytuacji gdy np. na odcinku umieszczałam losowo dwa punkty.
Wtedy pracowałam na kwadracie jednostkowym w którym miałam dwie "osie" \(\displaystyle{ x,y}\).

a4karo pisze: 13 mar 2022, o 14:57 Czy wiesz jakie są wierzchołki tego ostrosłupa? Jaka jest jego objętość?

Nie za bardzo :/

A teraz masz jeszcze trzecią. Które z wierzchołków sześcianu należą do ego ostroslupa?

No jeden wierzchołek tego sześcianu będzie należał do ostrosłupa?

Trochę więcej. Czy n.p. `(0,1,1)` będzie w ostrosłupie?
A `(1,0,1)`?

a4karo pisze: 13 mar 2022, o 19:21 Trochę więcej. Czy n.p. `(0,1,1)` będzie w ostrosłupie?
A `(1,0,1)`?

\(\displaystyle{ \left( 0,1,1\right) }\)
Tak
\(\displaystyle{ \left( 1,0,1\right) }\)
Nie

No to które jeszcze będą?

Wszystkie spełniające warunek z zadania

No to weź sobie pudełko, popatrz gdzie te wierzchołki leżą i policz objętość ostrosłupa

Okej, ale objętość tego trójkąta zależy od punktów które wezmę.
Może być \(\displaystyle{ (0,0.5,1)}\), a może być \(\displaystyle{ (0.1,0.2,0.3)}\)...

Przede wszystkim trójkąt nie ma objętości.

Po drugie interesuje cię objętość zbioru punktów, których pierwszą współrzędna jest mniejsza od drugiej a druga od trzeciej, bo każdy taki punkt jest twoim zdarzeniem sprzyjającym

Dodano po 4 minutach 58 sekundach:
Nie interesuje cię jakie punkty wybrano tylko objętość zbioru, którego elementy spełniają zadane warunki.

Mogłabym prosić o rozwiązanie? Nie potrafię tego rozwiązać, a Pańskie odpowiedzi nie wiele mi pomagają, gdyż przed zadaniem pytania wiedziałam dokładnie tyle co teraz