Matematyka.pl

Mam do policzenia taki szerego jedną i drugą metodą:
\(\displaystyle{
\sum_{n=1}^{\ \infty } \frac{ 5^{n} \left( n! \right) ^{2} }{\left( 2n\right)! }
}\)
policzyłem to metodą d'Alemberta i wyszło
\(\displaystyle{
\frac{ 5n^{2}+10n+5 }{2n\cdot n!^{2}+ n!^{2} }
}\)
jak to można jeszcze uprościć żeby ustalić czy ten ciąg jest zbieżny czy też nie?
A tutaj jest metoda Cauchy'ego
\(\displaystyle{
\frac{5 \sqrt[n]{ (n!)^{2} } }{ \sqrt[n]{(2n)!} }
}\)
czy w jednym i w drugim przypadku mogę prosić o pomoc w wyznaczeniu czy ten ciąg jest zbieżny albo nie. Wiem że można zrobić to jedną metodą ale chciałbym się nauczyć dwóch. Czy mogę prosić o pomoc?

Kryterium d'Alemberta

\(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{5^{n+1}\cdot [(n+1)!]^2}{[2(n+1)]!}\cdot \frac{(2n)!}{5^{n}\cdot (n!)^2} =\frac{5\cdot (n+1)^2}{(2n+1)\cdot (2n+2)} \rightarrow \ \ ... }\) gdy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty }\)

Kryterium Cauchy'ego

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{a_{n}} = \sqrt[n]{\frac{5^{n}\cdot (n!)^2}{(2n)!}} = 5\cdot \sqrt[n]{\frac{(n!)^2}{n!\cdot (n+1)\cdot (n+2)\cdot ...\cdot 2n}} = 5\cdot \sqrt[n]{\frac{n!}{(n+1)\cdot (n+2) \cdot ...\cdot 2n}} \rightarrow \ \ ... }\) gdy \(\displaystyle{ n\rightarrow \infty }\)

Na podstawie kryterium d'Alemberta i Cauchyego szereg jest ...

hutsalo pisze: 12 mar 2022, o 18:12policzyłem to metodą d'Alemberta i wyszło
\(\displaystyle{
\frac{ 5n^{2}+10n+5 }{2n\cdot n!^{2}+ n!^{2} }
}\)

To źle policzyłeś.

hutsalo pisze: 12 mar 2022, o 18:12jak to można jeszcze uprościć żeby ustalić czy ten ciąg jest zbieżny czy też nie?

Ale wiesz, na czym polega kryterium d'Alemberta? Bo badasz zbieżność szeregu, a nie ciągu.

hutsalo pisze: 12 mar 2022, o 18:12Wiem że można zrobić to jedną metodą ale chciałbym się nauczyć dwóch.

To niekoniecznie działa. W tym wypadku kryterium Cauchy'ego jest niezbyt wygodne.

JK

janusz47 pisze: 12 mar 2022, o 21:15 Kryterium d'Alemberta

\(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{5^{n+1}\cdot [(n+1)!]^2}{[2(n+1)]!}\cdot \frac{(2n)!}{5^{n}\cdot (n!)^2} =\frac{5\cdot (n+1)^2}{(2n+1)\cdot (2n+2)} \rightarrow \ \ ... }\) gdy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty }\)

Kryterium Cauchy'ego

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{a_{n}} = \sqrt[n]{\frac{5^{n}\cdot (n!)^2}{(2n)!}} = 5\cdot \sqrt[n]{\frac{(n!)^2}{n!\cdot (n+1)\cdot (n+2)\cdot ...\cdot 2n}} = 5\cdot \sqrt[n]{\frac{n!}{(n+1)\cdot (n+2) \cdot ...\cdot 2n}} \rightarrow \ \ ... }\) gdy \(\displaystyle{ n\rightarrow \infty }\)

Na podstawie kryterium d'Alemberta i Cauchyego szereg jest ...

Dobra ok. Ale czy to
\(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{5^{n+1}\cdot [(n+1)!]^2}{[2(n+1)]!}\cdot \frac{(2n)!}{5^{n}\cdot (n!)^2} =\frac{5\cdot (n+1)^2}{(2n+1)\cdot (2n+2)} \rightarrow \ \ ... }\) gdy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty }\)
i to
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{a_{n}} = \sqrt[n]{\frac{5^{n}\cdot (n!)^2}{(2n)!}} = 5\cdot \sqrt[n]{\frac{(n!)^2}{n!\cdot (n+1)\cdot (n+2)\cdot ...\cdot 2n}} = 5\cdot \sqrt[n]{\frac{n!}{(n+1)\cdot (n+2) \cdot ...\cdot 2n}} \rightarrow \ \ ... }\) gdy \(\displaystyle{ n\rightarrow \infty }\)
to jest wszystko policzone czy da się to jeszcze jakoś uprościć?

Dodano po 37 minutach 59 sekundach:

Jan Kraszewski pisze: 12 mar 2022, o 22:48

hutsalo pisze: 12 mar 2022, o 18:12policzyłem to metodą d'Alemberta i wyszło
\(\displaystyle{
\frac{ 5n^{2}+10n+5 }{2n\cdot n!^{2}+ n!^{2} }
}\)

To źle policzyłeś.

czyli sugerujesz żeby tego nie wymnażać
\(\displaystyle{
\frac{ 5n^{2}+10n+5 }{2n\cdot n!^{2}+ n!^{2} }
}\)
tylko zostawić w takiej postaci:\(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{5^{n+1}\cdot [(n+1)!]^2}{[2(n+1)]!}\cdot \frac{(2n)!}{5^{n}\cdot (n!)^2} =\frac{5\cdot (n+1)^2}{(2n+1)\cdot (2n+2)} \rightarrow \ \ ... }\) gdy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty }\)

Sam musisz obliczyć te granice (czyli to, co powinno być za strzałkami}. Choć pewnie wyliczenie granicy w przypadku kryterium Cauchy'ego nie będzie proste. Może zamiast granicy postaraj się o jakieś oszacowanie od dołu

Granica w przypadku kryterium d'Alemberta wyszła mi 5/4. Oto jak liczyłem:
\(\displaystyle{
\lim_{n \to \infty } 5n^{2} + 10n + 5
\\
\lim_{n \to \infty } 4n^{2} + 6n + 2
}\)
i teraz tak. Zarówno w pierwszym jak i drugim przypadku wychodzi mi \(\displaystyle{ \infty }\). W związku z tym że \(\displaystyle{ \frac{ \infty }{ \infty } }\) powoduje że taka granica jest nieokreślona no to upraszczam sobie to co mam tu
\(\displaystyle{
\lim_{n \to \infty } 5n^{2} + 10n + 5
\\
\lim_{n \to \infty } 4n^{2} + 6n + 2
}\)
w następujący sposób. Po pierwsze wyłączam w jednym jak i w drugim przypadku wspólny czynnik przed nawias w związku to wygląda tak:
\(\displaystyle{
\lim_{n \to \infty }\left( \frac{ n^{2} \cdot \left(5 + \frac{10}{n} + \frac{5}{ n^{2} } \right) }{ n^{2} \cdot \left( 4 + \frac{6}{n} + \frac{2}{ n^{2} } \right) } \right)
}\)
teraz skracam \(\displaystyle{ n^{2} }\) i zostaje
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\left( \frac{ 5 + \frac{10}{n} + \frac{5}{ n^{2} } }{ 4 + \frac{6}{n} + \frac{2}{ n^{2} } } \right)
}\)
no i obliczam granice. Nie będe pokazywał tutaj wszystkich obliczeń, które wykonałem do obliczenia tych granic pokaże tylko sam wynik
\(\displaystyle{
\frac{5+10 \cdot 0+5 \cdot 0}{4+6 \cdot 0+2 \cdot 0} = \frac{5}{4}
}\)
teraz czy prawidłowo policzyłem tą granice?

Prawidłowo.

Tylko jeszcze musisz wiedzieć, co oznacza ten wynik.

hutsalo pisze: 14 mar 2022, o 15:01 czyli sugerujesz żeby tego nie wymnażać
\(\displaystyle{
\frac{ 5n^{2}+10n+5 }{2n\cdot n!^{2}+ n!^{2} }
}\)
tylko zostawić w takiej postaci

To nie jest kwestia "wymnażania", to było źle policzone.

hutsalo pisze: 14 mar 2022, o 17:06no to upraszczam sobie to co mam tu
\(\displaystyle{
\lim_{n \to \infty } 5n^{2} + 10n + 5
\\
\lim_{n \to \infty } 4n^{2} + 6n + 2
}\)
w następujący sposób.

Niezbyt dobrze opisujesz, co tak naprawdę robisz - nie rozpatrujesz tych granic osobno, tylko jako jedną granicę ilorazu.

JK