Czy:\(\displaystyle{ 13|5^{36}-1}\)
Założenie: \(\displaystyle{ 5^{36}\equiv 1(mod\ 13)\\}\)
\(\displaystyle{ 5^{2}=25\equiv 12\equiv -1(mod\ 13)\\
5^{36}=(5^{2})^{18}\equiv (-1)^{18}\equiv 1(mod\ 13)\\}\)
więc \(\displaystyle{ 5^{36}\equiv 1(mod\ 13)}\)
Czy: \(\displaystyle{ 7|10^{49}+5^{3}}\)
Założenie\(\displaystyle{ 10^{49}\equiv -5^{3} (mod\ 13)}\)
\(\displaystyle{ -5^{3}=-5^{2}*5=-25*5\equiv -1*5\equiv -5 (mod\ 13)\\
10\equiv -3(mod\ 13)\\
10^{3}\equiv -27\equiv 1(mod 13)\\
10^{49}=10*10^{48}=10*(10^{3})^{16}\equiv 10(mod\ 13)\\}\)
Więc: \(\displaystyle{ 10\not\equiv 1(mod\ 13)}\)
Sprawdźcie
Kilka kongruencji do sprawdzenia.
-
Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
Kilka kongruencji do sprawdzenia.
Skąd w drugim przykładzie pojawiło Ci się mod 13?
\(\displaystyle{ 5^3 \equiv 125 \equiv 6 (mod \ 7) \\ 10 \equiv 3 (mod \ 7) \\ 10^3 \equiv 27 \equiv 6 \equiv -1 (mod \ 7) \\ 10^{48} \equiv (-1)^{16} \equiv 1 (mod \ 7) \\ 10^{49} \equiv 10 1 \equiv 3 (mod \ 7) \\ 5^3 + 10^{49} \equiv 6+3 \equiv 9 \equiv 2 (mod \ 7)}\)
Nie zachodzi: \(\displaystyle{ 7| \ 10^{49}+5^3}\)
\(\displaystyle{ 5^3 \equiv 125 \equiv 6 (mod \ 7) \\ 10 \equiv 3 (mod \ 7) \\ 10^3 \equiv 27 \equiv 6 \equiv -1 (mod \ 7) \\ 10^{48} \equiv (-1)^{16} \equiv 1 (mod \ 7) \\ 10^{49} \equiv 10 1 \equiv 3 (mod \ 7) \\ 5^3 + 10^{49} \equiv 6+3 \equiv 9 \equiv 2 (mod \ 7)}\)
Nie zachodzi: \(\displaystyle{ 7| \ 10^{49}+5^3}\)