Matematyka.pl

Czy poniższy dowód jest ok ?

Teza: \(\displaystyle{ (1+x_{1})(1+x_{2})...(1+x_{n}) \ge 1+x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}\) gdzie \(\displaystyle{ x_{1},x_{2},...,x_{n} \ge 0}\)

Przekształcam tezę:
\(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n} (1+x_{i}) \ge 1+ \sum_{i=1}^{n} x_{i}}\)

1) Krok bazowy: dla \(\displaystyle{ n=1}\)
\(\displaystyle{ 1+x_{1}=1+x_{1}}\)
Prawda.

2) Udowodnię, że jeżeli: \(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n} (1+x_{i}) \ge 1+ \sum_{i=1}^{n} x_{i}}\) to \(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n+1} (1+x_{i}) \ge 1+ \sum_{i=1}^{n+1} x_{i}}\)

\(\displaystyle{ (1+x_{n+1}) \prod_{i=1}^{n} (1+x_{i}) \ge 1+ x_{n+1}+ \sum_{i=1}^{n} x_{i}}\)

\(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n} (1+x_{i}) +x_{n+1}\prod_{i=1}^{n} (1+x_{i}) \ge 1+ x_{n+1}+ \sum_{i=1}^{n} x_{i}}\)

Wystarczy udowodnić, że:
\(\displaystyle{ x_{n+1}\prod_{i=1}^{n} (1+x_{i}) \ge x_{n+1}}\)
\(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n} (1+x_{i}) \ge 1}\)
To zdanie jest zawsze prawdziwe ponieważ z założenia \(\displaystyle{ x_{i} \ge 0}\) ckd.

Madzzia pisze: 6 mar 2022, o 04:00 Czy poniższy dowód jest ok ?

Teza: \(\displaystyle{ (1+x_{1})(1+x_{2})...(1+x_{n}) \ge 1+x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}\) gdzie \(\displaystyle{ x_{1},x_{2},...,x_{n} \ge 0}\)

Przekształcam tezę:
\(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n} (1+x_{i}) \ge 1+ \sum_{i=1}^{n} x_{i}}\)

Tu nic nie przekształaciłaś. Użyłaś tylko innego zapisu

1) Krok bazowy: dla \(\displaystyle{ n=1}\)
\(\displaystyle{ 1+x_{1}=1+x_{1}}\)
Prawda.

2) Udowodnię, że jeżeli: \(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n} (1+x_{i}) \ge 1+ \sum_{i=1}^{n} x_{i}}\) to \(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n+1} (1+x_{i}) \ge 1+ \sum_{i=1}^{n+1} x_{i}}\)

Natomiast tutaj przekształcasz tezę indukcyjną równoważnie, ale nie pokusiłaś się o komentarz. Szkoda. Zabrało mi trochę czasu, żeby sprawdzić co się dzieje w tym dowodzie.

\(\displaystyle{ (1+x_{n+1}) \prod_{i=1}^{n} (1+x_{i}) \ge 1+ x_{n+1}+ \sum_{i=1}^{n} x_{i}}\)

\(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n} (1+x_{i}) +x_{n+1}\prod_{i=1}^{n} (1+x_{i}) \ge 1+ x_{n+1}+ \sum_{i=1}^{n} x_{i}}\)

Wystarczy udowodnić, że:
\(\displaystyle{ x_{n+1}\prod_{i=1}^{n} (1+x_{i}) \ge x_{n+1}}\)

I tu jest dobre miejsce, aby odwołać się do założenia indukcyjnego, bo ono wyjaśnia dlaczego "Wystarczy udowodnić, że"

\(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n} (1+x_{i}) \ge 1}\)
To zdanie jest zawsze prawdziwe ponieważ z założenia \(\displaystyle{ x_{i} \ge 0}\) ckd.

Dowód jest poprawny, choć lepszy komentarz pozwoli zaoszczędzić czytelnikowi trochę czasu.

Inna sprawa, że ładniej wyglądałoby takie coś:
\(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n+1} (1+x_{i})=(1+x_{n+1}) \prod_{i=1}^{n} (1+x_{i}) = \prod_{i=1}^{n} (1+x_{i})+x_{n+1} \prod_{i=1}^{n} (1+x_{i})\ge \\1+\sum_{i=1}^{n} x_i+x_{n+1} \prod_{i=1}^{n} (1+x_{i})\ge 1+\sum_{i=1}^{n} x_i+x_{n+1}=1+\sum_{i=1}^{n+1} x_i}\)
z objaśnieniem, że pierwsza nierówność wynika z założenia indukcyjnego, a druga z powodu, że \(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n} (1+x_{i})\ge 1}\)

Dodano po 3 godzinach 7 minutach 12 sekundach:
=======================================================================

A teraz udowodnij tę samą nierówność przy założeniu, że wszystkie `x_i` są z przedziału `(-1,0]`