Matematyka.pl

Mam sprawdzić czy poniższe równości są tożsamościami, jeżeli nie to podać przykład.

Przykład 1

\(\displaystyle{ A \setminus (B \cup C)=(A \setminus B) \cap (A \setminus C)}\)
Wiem, że ten przykład jest tożsamością natomiast mam problem z zapisem, wyszedłem z prawej strony:
\(\displaystyle{ (x \in A \wedge x\notin B) \wedge (x \in A \cap x\notin C) \Leftrightarrow x \in A \wedge x\notin B \wedge x\notin C}\)

Wiem, że należy skorzystać teraz z prawa De Morgana, natomiast jak zachować poprawność zapisu? Mogłoby być tak?

... \(\displaystyle{ \Leftrightarrow x \in A \wedge \neg (x \in B \vee x \in C) \Leftrightarrow x \in A \setminus (B \cup C)}\)

Przykład 2

\(\displaystyle{ (A \cup B \cup C) \setminus (A \cup B)=C}\)
\(\displaystyle{ (A \cup B \cup C) \subset (A \cup B)}\) zatem \(\displaystyle{ (A \cup B \cup C) \setminus (A \cup B) \neq C}\)
Czy takie coś jest wystarczające, jak lepiej to zrobić? Nie za bardzo rozumiem polecenie " Jeżeli nie są tożsamościami podaj przykłady.

Z góry bardzo dziękuję za pomoc

gr4vity pisze: 1 mar 2022, o 23:15\(\displaystyle{ A \setminus (B \cup C)=(A \setminus B) \cap (A \setminus C)}\)
Wiem, że ten przykład jest tożsamością natomiast mam problem z zapisem, wyszedłem z prawej strony:
\(\displaystyle{ (x \in A \wedge x\notin B) \wedge (x \in A \cap x\notin C) \Leftrightarrow x \in A \wedge x\notin B \wedge x\notin C}\)

Zadam standardowe pytanie: a co to jest \(\displaystyle{ x}\)? Poza tym w jednym miejscu masz przekrój zamiast koniunkcji.

gr4vity pisze: 1 mar 2022, o 23:15 Wiem, że należy skorzystać teraz z prawa De Morgana, natomiast jak zachować poprawność zapisu? Mogłoby być tak?

... \(\displaystyle{ \Leftrightarrow x \in A \wedge \neg (x \in B \vee x \in C) \Leftrightarrow x \in A \setminus (B \cup C)}\)

Mogłoby być.

gr4vity pisze: 1 mar 2022, o 23:15\(\displaystyle{ (A \cup B \cup C) \setminus (A \cup B)=C}\)
\(\displaystyle{ (A \cup B \cup C) \subset (A \cup B)}\) zatem \(\displaystyle{ (A \cup B \cup C) \setminus (A \cup B) \neq C}\)
Czy takie coś jest wystarczające, jak lepiej to zrobić?

To jest przede wszystkim niepoprawne, bo nie jest prawdą, że \(\displaystyle{ (A \cup B \cup C) \subset (A \cup B)}\) (gdyż \(\displaystyle{ (A \cup B \cup C) \supset (A \cup B)}\)). Poza tym widać, że nie rozumiesz polecenia.

gr4vity pisze: 1 mar 2022, o 23:15Nie za bardzo rozumiem polecenie " Jeżeli nie są tożsamościami podaj przykłady.

Tożsamość rachunku zbiorów oznacza, że zachodzi dla dowolnych zbiorów \(\displaystyle{ A,B,C}\). Jeżeli zatem chcesz pokazać, że pewna równość jest tożsamością, musisz wykonać pewne rozumowanie ogólne. Natomiast jeśli taka równość nie jest tożsamością, to oznacza to, że istnieją zbiory \(\displaystyle{ A,B,C}\), dla których nie ma równości. Istnieją, czyli należy wskazać kontrprzykład, czyli przykład konkretnych zbiorów \(\displaystyle{ A,B,C}\), dla których nie ma równości.

JK

Jan Kraszewski pisze: 1 mar 2022, o 23:52 Zadam standardowe pytanie: a co to jest \(\displaystyle{ x}\)?

Sam chciałbym wiedzieć, nie było mi dane dowiedzieć się tego na wykładzie - może dowolny element?

Jan Kraszewski pisze: 1 mar 2022, o 23:52Poza tym w jednym miejscu masz przekrój zamiast koniunkcji.

Źle mi się kliknęło

Jan Kraszewski pisze: 1 mar 2022, o 23:52 To jest przede wszystkim niepoprawne, bo nie jest prawdą, że \(\displaystyle{ (A \cup B \cup C) \subset (A \cup B)}\) (gdyż \(\displaystyle{ (A \cup B \cup C) \supset (A \cup B)}\)). Poza tym widać, że nie rozumiesz polecenia.

A w ten sposób ?

\(\displaystyle{ (A \cup B \cup C) \setminus (A \cup B)=C}\)
\(\displaystyle{ (x \in A \vee x \in B \vee x \in C) \wedge \neg (x\in A \vee x\in B) \Leftrightarrow (x \in A \vee x \in B \vee x \in C) \wedge x\notin A \wedge
x \notin B \Leftrightarrow F \vee F \vee (x \in C \wedge x\notin A \wedge x \notin B)}\)
Czyli widzimy, że lewa strona opisuje nam tylko teelementy które należą do zbioru \(\displaystyle{ C}\), ale jednocześnie nie należą do zbioru \(\displaystyle{ A \wedge
B}\)

Jan Kraszewski pisze: 1 mar 2022, o 23:52 Tożsamość rachunku zbiorów oznacza, że zachodzi dla dowolnych zbiorów \(\displaystyle{ A,B,C}\). Jeżeli zatem chcesz pokazać, że pewna równość jest tożsamością, musisz wykonać pewne rozumowanie ogólne. Natomiast jeśli taka równość nie jest tożsamością, to oznacza to, że istnieją zbiory \(\displaystyle{ A,B,C}\), dla których nie ma równości. Istnieją, czyli należy wskazać kontrprzykład, czyli przykład konkretnych zbiorów \(\displaystyle{ A,B,C}\), dla których nie ma równości.

Czyli w moim przypadku podanie takich zbiorów: \(\displaystyle{ A=\left\{ 5\right\}, B=\left\{ 4\right\}, C=\left\{ 5,4,3\right\} }\) jest poprawnym przykładem?
Dla takich elementów naszego zbioru wynikiem tego: \(\displaystyle{ (A \cup B \cup C) \setminus (A \cup B)=3 \neq C}\)

Przepraszam bardzo, za niektóre być może błędne napisy, ale jestem zaledwie po pierwszych ćwiczeniach i jestem kompletnie świeży w tych tematach

Dziękuję bardzo za poświęcony czas !

gr4vity pisze: 2 mar 2022, o 01:02

Jan Kraszewski pisze: 1 mar 2022, o 23:52 Zadam standardowe pytanie: a co to jest \(\displaystyle{ x}\)?

Sam chciałbym wiedzieć, nie było mi dane dowiedzieć się tego na wykładzie - może dowolny element?

Tak, dowolnie ustalony element. Porządny dowód powinien zaczynać się od "Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ x}\)".

gr4vity pisze: 2 mar 2022, o 01:02A w ten sposób ?
\(\displaystyle{ (A \cup B \cup C) \setminus (A \cup B)=C}\)
\(\displaystyle{ (x \in A \vee x \in B \vee x \in C) \wedge \neg (x\in A \vee x\in B) \Leftrightarrow (x \in A \vee x \in B \vee x \in C) \wedge x\notin A \wedge
x \notin B \Leftrightarrow F \vee F \vee (x \in C \wedge x\notin A \wedge x \notin B)}\)
Czyli widzimy, że lewa strona opisuje nam tylko teelementy które należą do zbioru \(\displaystyle{ C}\), ale jednocześnie nie należą do zbioru \(\displaystyle{ A \wedge
B}\)

Jednocześnie nie należą do zbioru \(\displaystyle{ A\cup B}\) (zapis \(\displaystyle{ A \wedge B}\) nie ma sensu, zapomniałeś też o prawie de Morgana). Tyle że ten rachunek niczego nie dowodzi, może być tylko wskazówką przy szukaniu kontrprzykładu (choć do tego wystarczy diagram Venna).

gr4vity pisze: 2 mar 2022, o 01:02Czyli w moim przypadku podanie takich zbiorów: \(\displaystyle{ A=\left\{ 5\right\}, B=\left\{ 4\right\}, C=\left\{ 5,4,3\right\} }\) jest poprawnym przykładem?

Tak.

gr4vity pisze: 2 mar 2022, o 01:02Dla takich elementów naszego zbioru wynikiem tego: \(\displaystyle{ (A \cup B \cup C) \setminus (A \cup B)=3 \neq C}\)

Nie, bo \(\displaystyle{ (A \cup B \cup C) \setminus (A \cup B)=\{3\} }\) - klamerki robią różnicę...

JK

Jan Kraszewski pisze: 2 mar 2022, o 02:30 Jednocześnie nie należą do zbioru \(\displaystyle{ A\cup B}\) (zapis \(\displaystyle{ A \wedge B}\) nie ma sensu, zapomniałeś też o prawie de Morgana). Tyle że ten rachunek niczego nie dowodzi, może być tylko wskazówką przy szukaniu kontrprzykładu (choć do tego wystarczy diagram Venna).

A da się to przekształcić do takiego sposobu żeby ten rachunek pełnił rolę dowodu?

Dobrze rozumiem, że podanie przykładu jest wystarczającym dowodem i te przekształcenia są zbędne? W końcu jeden przykład obala tezę, że równość jest tożsama.

gr4vity pisze: 2 mar 2022, o 03:33A da się to przekształcić do takiego sposobu żeby ten rachunek pełnił rolę dowodu?

Nie. Nie jesteś w stanie w ogólny sposób udowodnić, że ta równość nie zachodzi, bo to by znaczyło, że NIGDY nie zachodzi, a to nieprawda - są zbiory, dla których ta równość zachodzi.

gr4vity pisze: 2 mar 2022, o 03:33Dobrze rozumiem, że podanie przykładu jest wystarczającym dowodem i te przekształcenia są zbędne? W końcu jeden przykład obala tezę, że równość jest tożsama.

Tak.

Przekształcenia mogą Ci pomóc znaleźć kontrprzykład, ale to kontrprzykład jest dowodem, że nie ma tożsamości.

Powinieneś zrozumieć podstawową różnicę pomiędzy twierdzeniem ogólnym a egzystencjalnym i sposobami ich dowodzenia.

JK