Matematyka.pl

Uzasadnij, że funkcje \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{x} }\) i \(\displaystyle{ g(x)=-\frac{x}{x^2}}\) nie są równe.

Dziedziny obu funkcji sa takie same, a wzór funkcji \(\displaystyle{ g}\) można przekształcić równoważnie do postaci \(\displaystyle{ g(x)=-\frac{1}{x}}\). I tu moje pytanie, czy to wystarczy (ponieważ funkcje są określone różnymi wzorami), czy koniecznie trzeba podać przykład argumentu, dla którego przyjmują różne wartości?

Fakt, że funkcje przedstawiają się różnymi wzorami nie znaczy, że nie są równe: przykłady typu `\sin 2x=2\sin x\cos x` powinnaś znać.

Definicja równości funkcji jest taka:
Funkcje są równe wtedy, gdy mają takie same dziedziny i dla każdego argumentu należącego do tej dziedziny wartości funkcji są równe.

Skorzystaj z niej.

To zależy od definicji funkcji. Niektórzy uważają że należy jeszcze uwzględnić przeciwdziedzinę

W tym zadaniu nie ma wyszczególnionej przeciwdziedziny. Nie wiem czy w tym przypadku Twoja uwaga nie wynika z nadgorliwości.

Dziedziny też nie ma...
W tym przypadku odpowiedź brzmi oczywiście NIE, ale generalnie bez definicji trudno opisać prawidłową odpowiedź.

inusia146 pisze: ↑17 lut 2022, o 22:18 Dziedziny obu funkcji są takie same, a wzór funkcji \(\displaystyle{ g}\)...

Jest możliwe by funkcje miały równe dziedziny oraz były opisane innym wzorem, a mimo to były równe. Przykładowo funkcje


są równe.

PS choć być może jest to sytuacja dość nietypowa i nie trzeba się nad nią zastanawiać w tym zadaniu.