Matematyka.pl

Treść zadania jest następująca :
Rozważmy grupę \(\displaystyle{ G := (Bij([-1, 1]), \circ)}\). Niech zbiór \(\displaystyle{ H}\) będzie zdefiniowany warunkiem :
\(\displaystyle{ H := \{ x \in G : (\forall y\in G)(\forall t\in[-1, 1])\, x(y(t)) = y(x(t)) \}}\)
Czy \(\displaystyle{ H \le G}\) ? Uzasadnić.

Proponowane rozwiązanie :
Nie wiemy, czy grupa \(\displaystyle{ G}\) jest grupą abelową. Natomiast ze spełnionego warunku przemienności wynika, że grupa \(\displaystyle{ H}\) jest grupą abelową, czyli spełnia ostrzejsze kryteria niż grupa \(\displaystyle{ G}\), więc spełnia zalezność \(\displaystyle{ H \le G.}\)

Jako szarlatan matematyczny z ciekawością zapoznam się z każdą opinią - Władzik.

Ten H to co piszesz to centrum grupy bijekcji i podejrzewam, że to centrum jest bardzo trywialne...

Wladzik pisze: 16 lut 2022, o 21:35Proponowane rozwiązanie :
Nie wiemy, czy grupa \(\displaystyle{ G}\) jest grupą abelową. Natomiast ze spełnionego warunku przemienności wynika, że grupa \(\displaystyle{ H}\) jest grupą abelową, czyli spełnia ostrzejsze kryteria niż grupa \(\displaystyle{ G}\), więc spełnia zalezność \(\displaystyle{ H \le G.}\)

A wiesz, co oznacza zapis \(\displaystyle{ H \le G}\) ? Bo zasadniczo nie oznacza on "\(\displaystyle{ H}\) spełnia ostrzejsze kryteria niż \(\displaystyle{ G}\)".

JK

arek1357 pisze: 17 lut 2022, o 00:08 Ten H to co piszesz to centrum grupy bijekcji i podejrzewam, że to centrum jest bardzo trywialne...

Treść zadania interpretuję następująco : oczekiwane jest uzasadnienie, że \(\displaystyle{ H}\) jest podgrupą grupy \(\displaystyle{ G}\) (tak rozumiem relację : \(\displaystyle{ H \le G}\))
Moje rozumowanie idzie na skróty :
1. Zbiór \(\displaystyle{ H}\) zawiera się w elementach grupy \(\displaystyle{ G}\).
2. Zbiór \(\displaystyle{ H}\) jest zbiorem wszystkich elementów w \(\displaystyle{ G}\), spełniających dodatkowy warunek przemienności - charakterystyczny dla grupy abelowej - więc powinien stanowić podgrupę abelową wewnątrz grupy \(\displaystyle{ G}\).

Czy powyższe dwie przesłanki są wystarczające, by uznać, że zbiór \(\displaystyle{ H}\) z działaniem grupy \(\displaystyle{ G}\) tworzy podgrupę spełniającą warunek \(\displaystyle{ H \le G}\) ?
Czy któraś z obu przesłanek jest błędem ?
Czy brakuje może jakiejs kolejnej przesłanki ?

Czy powinienem wyznaczyć w jakiś sposób centrum grupy \(\displaystyle{ G}\) i wykorzystać wynik ?

Władzik.

Poczytaj sobie o centrum grupy podejrzewam, że w tym przypadku centrum będzie się składało z jednego elementu tylko, ponieważ w grupach permutacji centrum jest trywialne, więc przez analogię taka bijekcja na zbiorze nieprzeliczalnym to można sobie powiedzieć , że to taka permutacja, i dlatego moje takie skojarzenie, że pewnie ta twoja podgrupa będzie jednoelementowa...

Jan Kraszewski pisze: 17 lut 2022, o 00:18

Wladzik pisze: 16 lut 2022, o 21:35Proponowane rozwiązanie :
Nie wiemy, czy grupa \(\displaystyle{ G}\) jest grupą abelową. Natomiast ze spełnionego warunku przemienności wynika, że grupa \(\displaystyle{ H}\) jest grupą abelową, czyli spełnia ostrzejsze kryteria niż grupa \(\displaystyle{ G}\), więc spełnia zalezność \(\displaystyle{ H \le G.}\)

A wiesz, co oznacza zapis \(\displaystyle{ H \le G}\) ? Bo zasadniczo nie oznacza on "\(\displaystyle{ H}\) spełnia ostrzejsze kryteria niż \(\displaystyle{ G}\)".

JK

Relację \(\displaystyle{ H \le G}\) interpretuję następująco - H jest podgrupą grupy G.
Powyższe mam uzasadnić.
Widzę, że zbiór H jest ograniczony wewnątrz zbioru G przez warunek przemienności - więc zbiór H spełnia ostrzejsze kryteria niż zbiór G. I to próbuję uznać za wystarczające do wykazania relacji \(\displaystyle{ H \le G}\) - poddając się ocenie na Forum.

Władzik.

Widzę, że zbiór H jest ograniczony wewnątrz zbioru G przez warunek przemienności - więc zbiór H spełnia ostrzejsze kryteria niż zbiór G.

Terminy, którymi się tu posługujesz, raczej nie funkcjonują w matematyce. \(\displaystyle{ H}\) jest po prostu podzbiorem \(\displaystyle{ G}\), który jest złożony z elementów spełniających dany warunek. Ten warunek można wypowiedzieć słowami: \(\displaystyle{ H}\) składa się dokładnie z tych elementów \(\displaystyle{ G}\), które są przemienne z każdym innym elementem.

I to próbuję uznać za wystarczające do wykazania relacji \(\displaystyle{ H \le G}\) - poddając się ocenie na Forum.

To uzasadnienie jest zdecydowanie niewystarczające.

Musisz znać przede wszystkim definicję podgrupy i najlepiej także jeden z warunków równoważnych.

Wladzik pisze: 17 lut 2022, o 11:42 Widzę, że zbiór H jest ograniczony wewnątrz zbioru G przez warunek przemienności - więc zbiór H spełnia ostrzejsze kryteria niż zbiór G. I to próbuję uznać za wystarczające do wykazania relacji \(\displaystyle{ H \le G}\) - poddając się ocenie na Forum.

Władzik.

Ogólne stwierdzenie, że nakładając kolejne warunki na już istniejące (dla grupy) czynią taki podzbiór podgrupą jest nieprawdziwe.

Prosty przykład, weźmy grupę bijekcji z twojego zadania i nałóżmy dodatkowy warunek np. że są to funkcje malejące na przedziale [0,1].
I co ? Mamy dodatkowy warunek czyli po twojemu zaostrzyłem kryteria, ale póki co jest to tylko podzbiór G ale nie jest to jego podgrupa, bo sam nie stanowi grupy (dlaczego ?).

Tutaj raczej trzeba właśnie wykorzystać fakt, że jest to centrum grupy i pokazać że centrum dowolnej grupy jest jej podgrupą (trywialne).

Wladzik pisze: 17 lut 2022, o 11:21Treść zadania interpretuję następująco : oczekiwane jest uzasadnienie, że \(\displaystyle{ H}\) jest podgrupą grupy \(\displaystyle{ G}\) (tak rozumiem relację : \(\displaystyle{ H \le G}\))
Moje rozumowanie idzie na skróty :
1. Zbiór \(\displaystyle{ H}\) zawiera się w elementach grupy \(\displaystyle{ G}\).
2. Zbiór \(\displaystyle{ H}\) jest zbiorem wszystkich elementów w \(\displaystyle{ G}\), spełniających dodatkowy warunek przemienności - charakterystyczny dla grupy abelowej - więc powinien stanowić podgrupę abelową wewnątrz grupy \(\displaystyle{ G}\).

To za mało.

Wladzik pisze: 17 lut 2022, o 11:21Czy powyższe dwie przesłanki są wystarczające, by uznać, że zbiór \(\displaystyle{ H}\) z działaniem grupy \(\displaystyle{ G}\) tworzy podgrupę spełniającą warunek \(\displaystyle{ H \le G}\) ?

W ten sam sposób mógłbyś twierdzić, że zbiór liczb naturalnych z dodawaniem tworzy podgrupę abelową zbioru liczb rzeczywistych z dodawaniem - dokładnie te same dwie przesłanki są spełnione. A to - jak wiadomo - nieprawda.

Wladzik pisze: 17 lut 2022, o 11:21Czy brakuje może jakiejs kolejnej przesłanki ?

Jeżeli chcesz sprawdzić, że podzbiór grupy tworzy podgrupę, to powinieneś sprawdzić, czy jest on zamknięty na to działanie i na branie elementu odwrotnego.

JK

Kordyt pisze: 17 lut 2022, o 14:19

Wladzik pisze: 17 lut 2022, o 11:42 Widzę, że zbiór H jest ograniczony wewnątrz zbioru G przez warunek przemienności - więc zbiór H spełnia ostrzejsze kryteria niż zbiór G. I to próbuję uznać za wystarczające do wykazania relacji \(\displaystyle{ H \le G}\) - poddając się ocenie na Forum.

Władzik.

Ogólne stwierdzenie, że nakładając kolejne warunki na już istniejące (dla grupy) czynią taki podzbiór podgrupą jest nieprawdziwe.

Prosty przykład, weźmy grupę bijekcji z twojego zadania i nałóżmy dodatkowy warunek np. że są to funkcje malejące na przedziale [0,1].
I co ? Mamy dodatkowy warunek czyli po twojemu zaostrzyłem kryteria, ale póki co jest to tylko podzbiór G ale nie jest to jego podgrupa, bo sam nie stanowi grupy (dlaczego ?).

Tutaj raczej trzeba właśnie wykorzystać fakt, że jest to centrum grupy i pokazać że centrum dowolnej grupy jest jej podgrupą (trywialne).

Cenny komentarz.
Odnośnie mojego zaostrzającego kryterium - przemienność wydała mi się jednak wyjątkowym warunkiem, bo charakterystycznym dla grupy abelowej - stąd próba skrótu, że taki specyficzny warunek zapewnia wydzielenie właśnie podgrupy.

Tylko tym bronie chłopskiego rozumu, że przykładowa grupa liczb naturalnych nie jest zbiorem WSZYSTKICH elementów spełniających warunek przemienności.

Dodano po 4 minutach 26 sekundach:
Odpowiedzi, które uzyskałem, bardzo mnie usatysfakcjonowały. Wskazały mi głębię zagadnienia oraz ścieżki do poszukiwania rozwiązania.

Pozdrawiam - Władzik.

Wladzik pisze: 17 lut 2022, o 22:26Tylko tym bronie chłopskiego rozumu, że przykładowa grupa liczb naturalnych

Zbiór liczb naturalnych z dodawaniem nie jest grupą.

Wladzik pisze: 17 lut 2022, o 22:26nie jest zbiorem WSZYSTKICH elementów spełniających warunek przemienności.

A to już zupełnie inna kwestia, której wcześniej nie poruszałeś. To istotnie jest ważne, co napisał już Kordyt.

Kordyt pisze: 17 lut 2022, o 14:19 Tutaj raczej trzeba właśnie wykorzystać fakt, że jest to centrum grupy i pokazać że centrum dowolnej grupy jest jej podgrupą (trywialne).

JK

oraz ścieżki do poszukiwania rozwiązania.

Raczej nie ma czego szukać...