Ścieżka wirowa Karmana
: 12 lut 2022, o 11:30
Przerabiam teraz w ramach samokształcenia "Podstawy mechaniki płynów" Ryszarda Grybosia, wydanie PWN z 1989 roku. W rozdziale traktującym o przepływach potencjalnych, autor wyprowadza funkcję prądu dla ścieżki wirowej Karmana.
Ścieżka wirowa Karmana to nieskończony zbiór pojedynczych wirów o jednakowej cyrkulacji \(\displaystyle{ \Gamma}\) pokrywających się z osią 0x i rozmieszczonych w jednakowej odległości od siebie a. Jest to zagadnienie płaskie co jego badanie znacznie upraszcza. Cała ścieżka wirów indukuje w punkcie \(\displaystyle{ P(x, y)}\) przepływ, któremu odpowiada funkcja prądu
\(\displaystyle{ \psi=- C \sum_{i=1}^{ \infty }\ln r _{i} . }\)
Rozumiem przy tym, że:
\(\displaystyle{ C= \frac{\Gamma}{2\pi} }\)
Indeksem \(\displaystyle{ i}\) oznaczono kolejny wir, natomiast \(\displaystyle{ r _{i} }\) to poprowadzony do niego z punktu \(\displaystyle{ P(x, y)}\), promień wodzący.
"Występującą tu sumę funkcji logarytmicznych można przedstawić w postaci zamkniętej
\(\displaystyle{ \psi=- \frac{1}{2} C \ln\left( \frac{1}{2}\cosh\frac{2\pi y}{a}-\frac{1}{2}\cos\frac{2\pi x}{a} \right). }\)"
Nie ma w tym miejscu żadnego odsyłacza do jakiejkolwiek pozycji w bibliografii, byłbym więc wdzięczny za naprowadzenie/wskazanie toku rozumowania w wyniku którego uzyskano tę "postać zamkniętą". Z góry dziękuję!
Ścieżka wirowa Karmana to nieskończony zbiór pojedynczych wirów o jednakowej cyrkulacji \(\displaystyle{ \Gamma}\) pokrywających się z osią 0x i rozmieszczonych w jednakowej odległości od siebie a. Jest to zagadnienie płaskie co jego badanie znacznie upraszcza. Cała ścieżka wirów indukuje w punkcie \(\displaystyle{ P(x, y)}\) przepływ, któremu odpowiada funkcja prądu
\(\displaystyle{ \psi=- C \sum_{i=1}^{ \infty }\ln r _{i} . }\)
Rozumiem przy tym, że:
\(\displaystyle{ C= \frac{\Gamma}{2\pi} }\)
Indeksem \(\displaystyle{ i}\) oznaczono kolejny wir, natomiast \(\displaystyle{ r _{i} }\) to poprowadzony do niego z punktu \(\displaystyle{ P(x, y)}\), promień wodzący.
"Występującą tu sumę funkcji logarytmicznych można przedstawić w postaci zamkniętej
\(\displaystyle{ \psi=- \frac{1}{2} C \ln\left( \frac{1}{2}\cosh\frac{2\pi y}{a}-\frac{1}{2}\cos\frac{2\pi x}{a} \right). }\)"
Nie ma w tym miejscu żadnego odsyłacza do jakiejkolwiek pozycji w bibliografii, byłbym więc wdzięczny za naprowadzenie/wskazanie toku rozumowania w wyniku którego uzyskano tę "postać zamkniętą". Z góry dziękuję!