Matematyka.pl

Czemu przyjmuje się, że zmienna losowa o rozkładzie Studenta z 1 stopniem swobody ma nieokreśloną wartość oczekiwaną? Przecież z kształtu wykresu gęstości widać, ze jej "środek ciężkości" leży w zerze. Czemu więc zero nie jest wartością oczekiwaną tego rozkładu?

Podobnie z wariancją dla \(\displaystyle{ k = 1, k = 2}\).

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X \sim t( n, \alpha) }\) ma określoną wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ E(X) =0 }\) i wariancję \(\displaystyle{ V(X) = \frac{n}{n-2} , \ \ n >2 .}\)

Jeśli \(\displaystyle{ n=1 }\) to rozkład t- Studenta jest równy rozkładowi Cauchy'ego \(\displaystyle{ C(0,1)}\) o wartości oczekiwanej nieokreślonej i wariancji nieokreślonej.

Dobrze - ale tak na logikę, na chłopski rozum.
1. kształt wykresu gęstości zmiennej o rozkładzie Studenta - także dla n=1 pozwala sądzić, że wartość oczekiwana wynosi 0
2. gdyby wygenerować prawie nieskończoną ilość takich zmiennych, to przecież zawsze średnia będzie dążyć do zera

Skoro mówisz o wykresie funkcji gęstości i o tym, jak się ona zachowuje w okolicy zera, to zapewne mylisz wartość oczekiwaną z dominantą (czy raczej z czymś, co graficznie jej w tym przypadku odpowiada).

Nic nie mylę - wyobrażam, sobie, że funkcja gęstości wycięta jest z blachy i chcę znaleźć punkt (odciętą), gdzie mam podeprzeć tę blachę, aby była w równowadze.

Halo - naprawdę wiem, czym się różni maksimum gęstości (dominanta) od wartości oczekiwanej. Wiem też, gdzie leży wartość oczekiwana dla symetrycznej funkcji gęstości.

Jeśli wartość oczekiwana tego rozkładu by istniała, to byłaby równa \(\displaystyle{ 0}\) - masz rację. Ale nie istnieje, ponieważ \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x}{\pi(1+x^2)} \mbox{d}x}\) nie istnieje - o tym bardzo łatwo się przekonać licząc granicę

\(\displaystyle{ \lim_{a \to -\infty, \ b \to \infty} \int_{a}^b \frac{x}{\pi(1+x^2)} \mbox{d}x}\).

Intuicyjnie, wartość oczekiwaną rozumiemy jako średnią. Czyli jeśli powtórzymy eksperyment baaardzo dużo razy, a potem uśrednimy wyniki, to powinniśmy dostać coś, co jest blisko jakieś liczby, którą właśnie rozumiemy jako wartość oczekiwaną. W przypadku rozkładu Cauchy'ego (t-studenta z jednym stopniem swobody) tak nie jest. Uśredniając bardzo dużo niezależnych zmiennych o rozkładzie Cauchy'ego, wcale nie będziesz zbliżać się do \(\displaystyle{ 0}\), a do jakieś losowej liczby.
Możesz sobie napisać jakieś program i sprawdzić, że tak jest. Albo policzyć, że \(\displaystyle{ \frac{1}{n}\left(X_1 + X_2 + \ldots + X_n\right) \sim Cauchy(0,1)}\), gdzie \(\displaystyle{ X_i \sim Cauchy(0,1)}\) niezależne.

\(\displaystyle{ X\sim C(0,1) }\))

Z definicji wartości oczekiwanej dla rozkładu ciągłego

\(\displaystyle{ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x\cdot f(x).}\)

\(\displaystyle{ E(X) = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot \frac{1}{1+x^2}dx = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty}\frac{x}{1+x^2}dx = \frac{1}{2\pi}[\ln(1+x^2)]_{0}^{x \rightarrow \infty} = \infty.}\)

Z blachy można wycinać amulety, foremki do ciast ...

Tmkk pisze: ↑12 lut 2022, o 11:12 W przypadku rozkładu Cauchy'ego (t-studenta z jednym stopniem swobody) tak nie jest. Uśredniając bardzo dużo niezależnych zmiennych o rozkładzie Cauchy'ego, wcale nie będziesz zbliżać się do \(\displaystyle{ 0}\), a do jakieś losowej liczby.

No to tu mnie zaskoczyłeś. Patrząc na krzywą gęstości tego rozkładu, jak się symetrycznie względem zera rozpościera, jak się de facto specjalnie nie różni od krzywych gęstości rozkładu Studenta dla wyższych stopni swobody - dałbym sobie rękę uciąć, że przy prawie nieskończenie wielu eksperymentach średnia będzie dążyć do zera... Kurde, gdzie na wykresie widać, że dla 1 stopnia swobody nie dąży a dla 2 dąży...?

Dodano po 2 minutach 2 sekundach:

janusz47 pisze: ↑12 lut 2022, o 11:25

Z blachy można wycinać amulety, foremki do ciast ...

Nie przesadzaj - to jest "inżynierskie" podejście do wartości oczekiwanej (jako środka ciężkości krzywej gęstości).

Dodano po 4 minutach 23 sekundach:
Już tak sobie kombinuję w głowie, że może ona nie zbiega asymptotycznie do zera jak krzywa normalna, czy gęstości Studentów z wyższymi stopniami swobody i te wysokie wartości przeważają, że ta średnia liczba nie wychodzi zero. No ale kurde musi jakoś się to w nieskończoności domykać, skoro pole jest 1.

Dodano po 12 minutach 29 sekundach:

janusz47 pisze: ↑12 lut 2022, o 11:25

\(\displaystyle{ E(X) = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot \frac{1}{1+x^2}dx = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty}\frac{x}{1+x^2}dx = \frac{1}{2\pi}[\ln(1+x^2)]_{0}^{x \rightarrow \infty} = \infty.}\)

\(\displaystyle{ + \infty }\) ?

No to jeszcze lepsze jaja. Czyli znaczy, że w kolejnych eksperymentach np. miliona losowań będę otrzymywał - jako średnie - duże liczby dodatnie?
Czemu dodatnie a nie np. ujemne, skoro gęstość jest parzysta?

Całe moje wyobrażenie o wartości oczekiwanej zmiennej losowej legło w gruzach.

sdd1975 pisze: ↑12 lut 2022, o 11:45 No to tu mnie zaskoczyłeś. Patrząc na krzywą gęstości tego rozkładu, jak się symetrycznie względem zera rozpościera, jak się de facto specjalnie nie różni od krzywych gęstości rozkładu Studenta dla wyższych stopni swobody - dałbym sobie rękę uciąć, że przy prawie nieskończenie wielu eksperymentach średnia będzie dążyć do zera... Kurde, gdzie na wykresie widać, że dla 1 stopnia swobody nie dąży a dla 2 dąży...?

Wydaje mi się, że to może mieć związek z tym, że rozkład Cauchy'ego jest "za mało" skoncentrowany w \(\displaystyle{ 0}\). Porównaj sobie na jednym wykresie (to się daje wygooglować) rozkład Cauchy'ego z rozkładem t-studenta z większą liczbą stopni swobody. Albo z rozkładem normalnym.

I jak sobie losujesz jakieś liczby z tego rozkładu, to zbyt często dostajesz wyniki zbyt oddalone od zera i to się "dobrze" nie uśrednia - tak ja to widzę. Rozkład t-studenta z dwoma stopniami swobody już jest "wystarczająco ściśnięty" przy zerze i jest dobrze. Ale niewystarczająco dobrze, aby istniał drugi moment.

sdd1975 pisze: ↑12 lut 2022, o 11:45 No to jeszcze lepsze jaja. Czyli znaczy, że w kolejnych eksperymentach np. miliona losowań będę otrzymywał - jako średnie - duże liczby dodatnie?
Czemu dodatnie a nie np. ujemne, skoro gęstość jest parzysta?

Całe moje wyobrażenie o wartości oczekiwanej zmiennej losowej legło w gruzach.

Nie, u pana Janusza nagle pojawiło się \(\displaystyle{ 0}\) w dolnej granicy całkowania, zamiast \(\displaystyle{ -\infty}\) i ta średnia nie wychodzi \(\displaystyle{ +\infty}\). Ogólnie - tak jak pisałem wcześniej - robiąc milion eksperymentów z rozkładu \(\displaystyle{ Cauchy(0,1)}\) będziesz dostawał w średniej liczbę, która będzie znowu z rozkładu \(\displaystyle{ Cauchy(0,1)}\).

Całka ta jest rozbieżna tym samym w Teorii Prawdopodobieństwa jak i Statystyce przyjmuje się, że \(\displaystyle{ E(X) , V(X) }\) rozkładu Cauchy'ego nie istnieją. I tyle.

janusz47 pisze: ↑12 lut 2022, o 13:43 Całka ta jest rozbieżna tym samym w Teorii Prawdopodobieństwa jak i Statystyce przyjmuje się, że \(\displaystyle{ E(X) , V(X) }\) rozkładu Cauchy'ego nie istnieją. I tyle.

To jest podejście dogmatysty.

Ja mam podejście empiryczne - na ile tylko w tej nauce jest to możliwe - a w statystyce i rachunku prawdopodobieństwa jest.

Dodano po 7 minutach 32 sekundach:

Tmkk pisze: ↑12 lut 2022, o 12:15
I jak sobie losujesz jakieś liczby z tego rozkładu, to zbyt często dostajesz wyniki zbyt oddalone od zera i to się "dobrze" nie uśrednia - tak ja to widzę. Rozkład t-studenta z dwoma stopniami swobody już jest "wystarczająco ściśnięty" przy zerze i jest dobrze. Ale niewystarczająco dobrze, aby istniał drugi moment.
...

Nie, u pana Janusza nagle pojawiło się \(\displaystyle{ 0}\) w dolnej granicy całkowania, zamiast \(\displaystyle{ -\infty}\) i ta średnia nie wychodzi \(\displaystyle{ +\infty}\). Ogólnie - tak jak pisałem wcześniej - robiąc milion eksperymentów z rozkładu \(\displaystyle{ Cauchy(0,1)}\) będziesz dostawał w średniej liczbę, która będzie znowu z rozkładu \(\displaystyle{ Cauchy(0,1)}\).

Czyli rozumiem to tak - rozkłady typu normalny albo Studenta (v > 1) "zacieśniają" swoją średnią z próby - dzieląc odchylenie standardowe przez \(\displaystyle{ \sqrt {n} }\). W nieskończoności tak się zacieśni, że wychodzi stała równa wartości oczekiwanej.

Student(1) nie posiada wariancji (ma nieograniczoną) - czyli nie zacieśnia - średnia jest replikacją oryginalnej zmiennej.

A czy są jakieś konsekwencje braku wariancji dla Student(2) jeśli chodzi o średnią z próby?

Nie ma podejścia dogmatysty ani podejścia "empirysty". Każde podejście w nauce musi być zgodne z prawdą, a nie z własnymi wyobrażeniami.

Za dużo u Pana filozofii.

janusz47 pisze: ↑12 lut 2022, o 14:13 Nie ma podejścia dogmatysty ani podejścia "empirysty". Każde podejście w nauce musi być zgodne z prawdą, a nie z własnymi wyobrażeniami.

Za dużo u Pana filozofii.

Na szczęście nie wszyscy tak myślą - i mamy dzięki temu np. ogólną teorię względności.

Nawet z empirycznego podejścia wychodzi że rozkład Cauchyego nie spełnia wielu własności których byśmy chcieli. Np dotyczących przedziałów ufności.

Wykonałem sobie trochę symulacji i np. generowałem 10 milionów liczb z tego rozkładu. I faktycznie: średnia wychodziła czasem typu +/- 5, czasem np. -16 albo 600 a czasem nawet ok -20000. Po prostu od czasu do czasu się wylosowywuje jakaś ogromna liczba, która zawyża średnią. Wystarczy jeden stopień swobody dodać i już grzeczniutko ok zera. Coś niesamowitego...