Matematyka.pl

Witam, mam pytanie następujące. Mam dwie funkcje, powiedzmy \(\displaystyle{ f(z)= \frac{1}{(z+i)(z-1)} }\) i \(\displaystyle{ f(z)= \frac{1}{z^2(z+2)} }\). Mam określić rodzaj ich osobliwości korzystając z szeregu Laurenta. Pytanie może naiwne, ale w jednym przykładzie został zastosowany rozkład na ułamki proste, powiedzmy, że rozwijamy w pierścieniu o środku \(\displaystyle{ z_0=-i}\) i po rozbiciu dostajemy, że ta część z \(\displaystyle{ (z+i)}\) w mianowniku jest elementem części osobliwej tego szeregu. W drugim przykładzie, gdzie rozwijano w pierścieniu o środku \(\displaystyle{ z_0=0}\), nie rozbijano na ułamki proste, tylko po prostu wymnożono przez szereg uzyskany z \(\displaystyle{ \frac{1}{z+2} }\) rozwinięty względem 0. Generalnie próbując zrobić oba przykłady na dwa sposoby osobliwość wychodzi taka sama, tylko pytanie, czy to ma jakieś inne znaczenie i ew. kiedy rozbijać a kiedy nie rozbijać na ułamki proste?

W drugim przypadku czynnik `1/z^2` już jest kawałkiem szeregu Laurenta w zerze, więc wystarczy jedynie rozwinąć ostatni czynnik.