żS-4, od: szydra, zadanie 4

Liga
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 168
Rejestracja: 29 wrz 2006, o 18:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl

żS-4, od: szydra, zadanie 4

Post autor: Liga » 21 paź 2007, o 11:32

szydra pisze:Suma współczynników przy pierwszych trzech wyrazach wynosi 22, więc:
\(\displaystyle{ {m \choose 0}+{m \choose 1}+{m \choose 2}=22}\)
\(\displaystyle{ 1+m+\frac{m(m-1)}{2}=22}\)
\(\displaystyle{ m^2+m-42=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta_{m}=1+4 42=169}\), więc \(\displaystyle{ m_{1}=\frac{-1-\sqrt{169}}{2}=-7}\) oraz \(\displaystyle{ m_{2}=\frac{-1+\sqrt{169}}{2}=6}\). Jednak pierwszą wartość odrzucamy jako niespełniającą warunków zadania. Suma trzeciego i piątego wyrazu wynosi:
\(\displaystyle{ {6 \choose 2}(\sqrt{2^x})^4(\frac{1}{\sqrt{2^{x-1}}})^2+{6 \choose 4}(\sqrt{2^x})^2(\frac{1}{\sqrt{2^{x-1}}})^4 = 15 2^{x+1}+15 \frac{1}{2^{x-2}}}\)
Uwzględniając, że suma ta wynosi \(\displaystyle{ 135}\) oraz podstawiając \(\displaystyle{ t=2^x}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 15 2 t+15 \frac{4}{t}=135}\)
\(\displaystyle{ 2t^2-9t+4=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta_{t}=(-9)^2-4\cdot 2\cdot 4=49}\), więc \(\displaystyle{ t_{1}=\frac{9-\sqrt{49}}{4}=\frac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ t_{2}=\frac{9+\sqrt{49}}{4}=4}\). Wracając do niewiadomej \(\displaystyle{ x}\) mamy:
\(\displaystyle{ 2^x=\frac{1}{2}}\) lub \(\displaystyle{ 2^x=4}\), czyli \(\displaystyle{ x=-1}\) lub \(\displaystyle{ x=2}\)

odp. \(\displaystyle{ x \{ -1, 2 \}}\)
Ostatnio zmieniony 23 paź 2007, o 17:22 przez Liga, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6915
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2617 razy
Pomógł: 687 razy

żS-4, od: szydra, zadanie 4

Post autor: mol_ksiazkowy » 21 paź 2007, o 11:34

okey max, tj 5 p

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

żS-4, od: szydra, zadanie 4

Post autor: scyth » 21 paź 2007, o 22:17

jesli za 5 to 5

ODPOWIEDZ