Matematyka.pl

Cześć! Na początku chciałbym opisać treść zagadnienia:
Niech \(\displaystyle{ X_{1}, X_{2}, ..., X_{n}}\) będzie próbą losową z rozkładu \(\displaystyle{ N(\mu
,\sigma^2)}\), taką że każde dwie obserwacje są ze sobą skorelowane ze współczynnikiem korelacji \(\displaystyle{ \rho}\). To oznacza, że: \(\displaystyle{ Cov(X_{i}, X_{j})=\rho \cdot \sigma^2}\), dla \(\displaystyle{ i \neq j.}\)
Ile wynosi wariancja średniej z tej próby? Podpowiedź: \(\displaystyle{ Var(\alpha \cdot X + \beta \cdot Y) = \alpha^2 \cdot Var(X) + 2 \alpha \beta Cov(X,Y) + \beta^2 \cdot Var(Y) }\)
Niestety nie mam pomysłu, jak można odnieść się do tej podpowiedzi - tym bardziej, że mamy tak na prawdę do czynienia z jedną próbą losową, w której to korelujemy każdą z nich parami (a nie mamy osobno dwóch różnych prób losowych). Poza tym nie wiem jak odnieść się do wariancji 'ze średniej', o którą jest pytanie.

Wariancja średniej to po prostu \(\displaystyle{ \mbox{Var}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right)}\). W tej sytuacji korzystając z własności wariancji (tzn. z danej podpowiedzi, tylko że dla \(\displaystyle{ n}\) zmiennych) otrzymamy \(\displaystyle{ \mbox{Var}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right)=\frac{1}{n^2}\left(\sum_{i=1}^n \mbox{Var}(X_i)+2\sum_{i<j}\mbox{Cov}(X_i,X_j)\right)=\frac{1}{n^2}\left(n\cdot \sigma^2+2\cdot \frac{n^2-n}{2}\cdot\rho\sigma^2\right)=\\ =\frac{1}{n^2}\left(n\sigma^2+n^2\rho\sigma^2-n\rho\sigma^2\right)=\rho\sigma^2+\frac{\sigma^2}{n}\left(1-\rho\right),}\)
o ile nie pomyliłem się w obliczeniach.