Matematyka.pl

Na pręcie o długości \(\displaystyle{ 1 m}\) jest zawieszona kula. Jakiej najmniejszej prędkości w kierunku poziomym należy jej udzielić, aby wychyliła się ona do najwyższego położenia (masę pręta i opór powietrza pominąć)

Błagam proszę zróbcie to krok po kroku, jak jakiś wzór został przekształcony to napiszcie skąd to się wzięło.

1.
Zasada zachowania energii mechanicznej.

2.
Wyznaczenie wysokości \(\displaystyle{ h }\) którą osiągnęła kulka.

3.
Obliczenie wartości miary kąta \(\displaystyle{ \alpha }\) na jaki odchyliła się względem pionu.

Środek masy kuli \(\displaystyle{ m }\) wraz z przymocowanym nieważkim prętem o długośći \(\displaystyle{ l}\) wykonuje ruch obrotowy. Tor ruchu pokazano na rysunku.
Do rozw. tj. obliczenia prędkości \(\displaystyle{ v _{o,min} }\) zastosujemy zasadę równoważności pracy i energii kinetycznej.
\(\displaystyle{ E_{k1}-E _{ko} = W }\), (1)
1.Energia kinetyczna początkowa, \(\displaystyle{ E _{ko} }\) kuli w ruchu obrotowym względem osi obrotu przechodzącej przez punkt O.
\(\displaystyle{ E _{ko}=J _{o} \frac{\omega _{o} ^{2} }{2} }\), (2)
Gdzie moment bezwładności kuli wzgl. osi obrotu jest równy po zastosowaniu tw. Steinera:
\(\displaystyle{ J _{o} =J _{k}+m \cdot l ^{2} , \quad J _{k}= \frac{2}{5}mR ^{2} }\)- moment bezwładności kuli wzgl. jej środka masy.
2. Energia kinetyczna kuli po wychyleniu pręta o kąt \(\displaystyle{ \alpha }\)
\(\displaystyle{ E _{k1}=J _{o} \frac{\omega _{1} ^{2} }{2} }\), (3)
3. Pracę \(\displaystyle{ W}\) w układzie wykonuje, tylko siła ciężkości \(\displaystyle{ mg.}\)- Wartość ujemnej pracy - środek masy kuli po wychyleniu o kąt \(\displaystyle{ \alpha }\) wzniósł się powyżej położenia początkowego o wartość \(\displaystyle{ h}\).
\(\displaystyle{ W= - mg \cdot h= mg \cdot l(1-\cos \alpha )}\), (4)
{ Na rys. zwymiarowano trójkąt prostokątny, z którego obliczono nieznany wznios \(\displaystyle{ h}\) środka masy.}
4. Podstawiamy odkryte zależności do równania (1) wykonując elementarne przekształcenia i teraz równanie zasady przyjmuje postać
\(\displaystyle{ J _{k} +ml ^{2} (\omega ^{2} _{1} - \omega _{o} ^{2}) = -2mg \cdot l(1-\cos \alpha )}\), (5)
5. Z równania (5) określimy prędkość kątową \(\displaystyle{ \omega _{1} }\) kuli po wychyleniu
\(\displaystyle{ \omega _{1}=\omega ^{2} _{o} - \frac{2mg \cdot l}{J _{o} } ( 1-\cos \alpha ) }\), (6)
6. Środek masy kuli \(\displaystyle{ m}\) zajmuje najwyższe położenie dla kąta \(\displaystyle{ \alpha = \pi }\). Teraz z równania (6) wyznaczymy najmnieszą poziomą prędkość początkową kuli, która musi większa od zera;
\(\displaystyle{ (\omega ^{2} _{1} ) _{ \alpha = \pi }=\omega ^{2} _{o}- \frac{2mg \cdot l}{J _{o} }( 1-\cos \alpha ) }\)
/\(\displaystyle{ \cos \pi =-1}\)/
\(\displaystyle{ (\omega ^{2} _{1} ) _{ \alpha = \pi }=\omega ^{2} _{o}- \frac{mg \cdot l}{J _{o} } >0 }\), (7)

skąd znajdujemy poczatkową prędkość kątową
\(\displaystyle{ \omega _{o} > \sqrt{ \frac{mg \cdot l}{J _{o} } } }\), (8)
Lub prędkość początkową liniową ,wznoszącą kulę w najwyższe położenie, bo zachodzi związek
\(\displaystyle{ v _{o}=\omega _{o} \cdot l= \sqrt{ \frac{mg \cdot l ^{3} }{J _{o} } } }\), (9)