janusz47 pisze: 31 sty 2022, o 09:29
Jak obliczamy całkę oznaczoną metodą całkowania przez częśći ?
W kontekście tego pytania mogło chodzić o użycie twierdzenia Parsevala. Jak już mamy wyrazy rozwinięcia
\(\displaystyle{ f}\) oraz łatwo wyznaczymy wyrazy rozwinięcia
\(\displaystyle{ x\mapsto 3\sin 4x}\) to powinno dać się zastosować fakt:
\(\displaystyle{ \text{Niech }A(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{inx}\,\, \&\,\, B(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}e^{inx} \text{ będą całkowalne i }2 \pi-\text{okresowe wtedy} \, \int _{-\pi }^{\pi }A(x){\overline {B(x)}}\,\mathrm {d} x= 2 \pi \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}{\overline {b_{n}}}. }\)
Jakość tak
\(\displaystyle{ f(x)=\left(-\frac{1}{2}+\frac{i}{4}\right) e^{-4 i x}+\left(\frac{1}{2}+\frac{3 i}{4}\right) e^{-2 i x}+3+\left(\frac{1}{2}-\frac{3 i}{4}\right) e^{2 i x}+\left(-\frac{1}{2}-\frac{i}{4}\right)e^{4 i x}}\)
\(\displaystyle{ 3\sin 4x=\frac{3i}{2} e^{-4 i x}-\frac{3i}{2} e^{4 i x}}\)
A zatem
\(\displaystyle{ \left\langle a_n\right\rangle_{n=- \infty }^{ \infty } =\left\langle \dots 0,-\frac{1}{2}+\frac{i}{4},0,\frac{1}{2}+\frac{3 i}{4},0,3,0,\frac{1}{2}-\frac{3 i}{4},0,-\frac{1}{2}-\frac{ i}{4},0\dots\right\rangle }\)
\(\displaystyle{ \left\langle b_n\right\rangle_{n=- \infty }^{ \infty } =\left\langle \dots,0,\frac{3i}{2},0,0,0,0,0,0,0,-\frac{3i}{2},0,\dots\right\rangle }\)
więc
\(\displaystyle{ \int_{-\pi}^{\pi}f(x)3\sin 4x \dd x = 2\pi \left( -\left(-\frac{1}{2}+\frac{i}{4}\right) \cdot \frac{3i}{2} + \left(-\frac{1}{2}-\frac{i}{4}\right) \cdot \frac{3i}{2} \right) = \frac{3\pi}{2} }\)