Matematyka.pl

Witam, mam taki układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2xy^2+6xy-2y^2-6y=0\\2x^2y+3x^2-4xy-6x=0\end{cases}}\)

Mógłby ktoś mnie naprowadzić jak najszybciej/najlepiej wyznaczyć x i y?

Najpierw znajdź rozwiązania, gdy \(\displaystyle{ x=0}\) lub \(\displaystyle{ y=0}\). Potem możesz założyć, że \(\displaystyle{ x\ne 0}\) i \(\displaystyle{ y\ne 0}\), podzielić pierwsze równanie obustronnie przez \(\displaystyle{ 2y}\), a drugie obustronnie przez \(\displaystyle{ x}\) i rozwiązać dużo prostszy układ równań.

JK

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2xy^2+6xy-2y^2-6y=0\\2x^2y+3x^2-4xy-6x=0\end{cases} \ \ (*) }\)

Sprowadzamy pierwsze i drugie równanie układu do postaci iloczynowej

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2xy( y+3) - 2y(y+3) = 0 \\2xy (x-2) +3x(x-2) = 0\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2(x-1)\cdot y\cdot (y+3) = 0 \\ x\cdot (x-2)\cdot (2y +3) = 0 \end{cases} \ \ (**) }\)

Korzystając z rachunku logicznego, możemy zapisać układ \(\displaystyle{ (**) }\) w postaci

\(\displaystyle{ \left [x =1 \vee y = -3 \vee y=0 \right] \wedge \left [x =0 \vee x=2 \vee y -\frac{3}{2} \right] }\)

Z prawa rozdzielności koniunkcji względem alternatywy wynika, że rozwiązaniami układu \(\displaystyle{ (**) }\), tym samym układu \(\displaystyle{ (*) }\) są natępujące pary liczb:

\(\displaystyle{ \left (x = 0 \wedge y=0 \right ) \vee \left( x=0 \wedge y = -3\right) \vee \left(x = 1\wedge y = -\frac{3}{2} \right) \vee \left( x =2 \wedge y =-3 \right ) \vee \left(x =2 \wedge y=0 \right).}\)