Matematyka.pl

Witam

Mam pytanie, otóż posiadam dwa zbiory i muszę sprawdzić, czy są one równoliczne - i mam pytanie, czy dobrze rozumiem to
a)
\(\displaystyle{ A=(- \infty ,0], B=(-2 \pi ,4 \pi ] }\)
Dla mnie te dwa zbiory nie są równoliczne bo zbiór B zawiera liczy niewymierne których nie można przypisać z zbioru A do B (a zbiory równoliczne to maksymalnie zbiór wymierny)

b)
\(\displaystyle{ C= \NN \cup \left\{ \pi \right\} , D = \NN \cup \left\{ -1, -2\right\} }\)
I tutaj mam problem, bo z jednej strony myślę także, że te dwa zbiory nie są równoliczne no bo C zawiera \(\displaystyle{ \pi }\), ale z drugiej strony zastanawiam się, jeżeli taki zbiór C zawiera tylko jeden element wymierny (w tym przypadku \(\displaystyle{ \pi }\) To można powiedzieć że jest jednak równoliczny i można mu przypisać jakąś wartość z zbioru D?

smp pisze: 25 sty 2022, o 14:41 \(\displaystyle{ A=(- \infty ,0], B=(-2 \pi ,4 \pi ] }\)
Dla mnie te dwa zbiory nie są równoliczne bo zbiór B zawiera liczy niewymierne których nie można przypisać z zbioru A do B (a zbiory równoliczne to maksymalnie zbiór wymierny)

Nie. To uzasadnienie nie ma sensu. Wskazówka te zbiory są równoliczne.

smp pisze: 25 sty 2022, o 14:41 I tutaj mam problem, bo z jednej strony myślę także, że te dwa zbiory nie są równoliczne no bo C zawiera \(\displaystyle{ \pi }\), ale z drugiej strony zastanawiam się, jeżeli taki zbiór C zawiera tylko jeden element wymierny (w tym przypadku \(\displaystyle{ \pi }\) To można powiedzieć że jest jednak równoliczny i można mu przypisać jakąś wartość z zbioru D?

Musisz przypomnieć sobie definicję równoliczności by zrobić te zadania. Z definicji zobaczysz nie ma znaczenia czym są elementy danego zbioru liczy się tylko pewne odwzorowanie. O znalezienie tego odwzorowania jesteś tu nie wprost pytany.

smp pisze: 25 sty 2022, o 14:41Mam pytanie, otóż posiadam dwa zbiory i muszę sprawdzić, czy są one równoliczne - i mam pytanie, czy dobrze rozumiem to
a)
\(\displaystyle{ A=(- \infty ,0], B=(-2 \pi ,4 \pi ] }\)
Dla mnie te dwa zbiory nie są równoliczne bo zbiór B zawiera liczy niewymierne których nie można przypisać z zbioru A do B (a zbiory równoliczne to maksymalnie zbiór wymierny)

Uuu... Zupełnie źle rozumiesz. Zacznij od poznania i zrozumienia definicji równoliczności zbiorów.

smp pisze: 25 sty 2022, o 14:41 \(\displaystyle{ C= \NN \cup \left\{ \pi \right\} , D = \NN \cup \left\{ -1, -2\right\} }\)
I tutaj mam problem, bo z jednej strony myślę także, że te dwa zbiory nie są równoliczne no bo C zawiera \(\displaystyle{ \pi }\), ale z drugiej strony zastanawiam się, jeżeli taki zbiór C zawiera tylko jeden element wymierny (w tym przypadku \(\displaystyle{ \pi }\) To można powiedzieć że jest jednak równoliczny i można mu przypisać jakąś wartość z zbioru D?

Ta sama uwaga, co powyżej - nie rozumiesz, czym jest równoliczność zbiorów.

JK

Okej, chyba zrozumiałem zbiory muszą być bijekcją na pewno
czyli podpunkt a) jest równoliczny bo dowodem byłaby jakaś funkcja liniowa w tym przedziale która byłaby bijekcją? Czy dowodem tego byłoby, że oba zbiory mają taką "samą" ilość elementów w tych zbiorach?

b) już bardziej zrozumiałem bo jakby trzeba wyobrazić sobie, że te zbiory Naturalne w zbiorze \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ D}\) mają tyle samo elementów, i wtedy ma bijekcji pomiędzy \(\displaystyle{ \pi}\) a \(\displaystyle{ \{-1,-2\}}\)?

Wiem, wiem, że trochę źle napisałem (chce to zrozumieć na "chłopski rozum")

smp pisze: 25 sty 2022, o 16:44 zbiory muszą być bijekcją na pewno

Zbiory nie są bijekcjami tylko ma istnieć bijekcja pomiędzy zbiorami. To spora różnica.

smp pisze: 25 sty 2022, o 16:44 a) jest równoliczny bo dowodem byłaby jakaś funkcja liniowa w tym przedziale która byłaby bijekcją? Czy dowodem tego byłoby, że oba zbiory mają taką "samą" ilość elementów w tych zbiorach?

Wystarczy Ci wyznaczyć bijekcję pomiędzy \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\). Nie musi być liniowa (takiej raczej nie znajdziesz).

smp pisze: 25 sty 2022, o 16:44 i wtedy ma bijekcji pomiędzy \(\displaystyle{ \pi}\) a {-1,-2}?

Nie. To stwierdzenie nie ma sensu. Tu też szukasz bijekcji pomiędzy. Napisz te zbiory jeden pod drugim. W sensie wypisz ich elementy jeden pod drugim jest duża szansa, że to będzie bijekcja miedzy tymi zbiorami.

smp pisze: 25 sty 2022, o 16:44Czy dowodem tego byłoby, że oba zbiory mają taką "samą" ilość elementów w tych zbiorach?

A umiesz policzyć te elementy? Jak chcesz stwierdzić, że "mają taką "samą" ilość elementów"?

JK

To w przypadku a) to jak mamy wyznaczyć bijekcję? Jak ją znaleźć? Tzn w zbiorze A i B jest nieskończenie wiele elementów i każdemu można przypisać defakto jeden element, tzn, że działa tutaj bijekcja pomiędzy zbiorami - i czy taki opis wystarczy?

Bo jak w zadaniach miałem podaną jakąś funkcję to trzeba było udowodnić że jest suriekcja i iniekcja - ale w takim przypadku nie wiem jak to zrobić jak mamy same tylko zbiory.

Janusz Tracz pisze: 25 sty 2022, o 17:29

smp pisze: 25 sty 2022, o 16:44 i wtedy ma bijekcji pomiędzy \(\displaystyle{ \pi}\) a {-1,-2}?

Nie. To stwierdzenie nie ma sensu. Tu też szukasz bijekcji pomiędzy. Napisz te zbiory jeden pod drugim. W sensie wypisz ich elementy jeden pod drugim jest duża szansa, że to będzie bijekcja miedzy tymi zbiorami.

Oj tutaj miało być, że pomiędzy \(\displaystyle{ \pi}\) a {-1,-2} nie ma bjekcji

Bo oba zbiory mają \(\displaystyle{ \NN}\) elementów ale C ma 1 dodatkowy element \(\displaystyle{ \pi}\) a D {-1,-2} - więc chyba nie zachodzi bijekcja

ALE
czy b) także jednak jest bijekcją?
No bo na początku myślałem że np. można przypisać np
\(\displaystyle{ \pi}\) -> -2, 0 -> -1, 1 -> 0, 2 -> 1 I tak dalej
Ale już nie wiem jak to jest w końcu bo tego a) to już jestem pewien, że jest równoliczny

EDIT:
Wymyśliłem coś takiego
edit \begin{cases} Dla x=\pi f(x)=-2 \\ Dla x=0 f(x)=-1 \\ dla x>0 f(x)= x-1 \end{cases}
To byłby dowód że to jest zbiór równoliczny?