Równania różniczkowe

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Mario112
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 18 cze 2007, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 4 razy

Równania różniczkowe

Post autor: Mario112 » 21 paź 2007, o 00:48

Zad.1 Znajdż całkę ogólną rów. rózniczkowego : \(\displaystyle{ y''-4y'+3y=3x^2-8x+2+4e^x}\)
Zad.2 Znajdż rozwiązanie zagadnienia początkowego : \(\displaystyle{ y'- \frac{y}{x} =2x^2 \quad, y(1)=1}\)

Z góry dziękuje.
Ostatnio zmieniony 21 paź 2007, o 10:11 przez Mario112, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
kuch2r
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2303
Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 408 razy

Równania różniczkowe

Post autor: kuch2r » 21 paź 2007, o 10:31

ad.2
\(\displaystyle{ y'-\frac{y}{x}=2x^2}\)
Załozenie:
\(\displaystyle{ x\neq 0}\)
Niech:
\(\displaystyle{ u=\frac{y}{x}}\)
Wowczas:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=u+x \frac{du}{dx}}\)
Ponadto:
\(\displaystyle{ u+x\frac{du}{dx}=u+2x^2\\x\frac{du}{dx}=2x^2\\\frac{du}{dx}=2x\\u=x^2+C\\\frac{y}{x}=x^2+C\\y=x^3+Cx}\)
Uwzgledniajac warunki poczatkowe zadania otrzujemy, ze \(\displaystyle{ C=0}\)
Zatem rozwiazanie jest \(\displaystyle{ y(x)=x^3}\)

ODPOWIEDZ