Zad.1 Znajdż całkę ogólną rów. rózniczkowego : \(\displaystyle{ y''-4y'+3y=3x^2-8x+2+4e^x}\)
Zad.2 Znajdż rozwiązanie zagadnienia początkowego : \(\displaystyle{ y'- \frac{y}{x} =2x^2 \quad, y(1)=1}\)
Z góry dziękuje.
Równania różniczkowe
-
kuch2r
- Użytkownik
- Posty: 2302
- Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 408 razy
Równania różniczkowe
ad.2
\(\displaystyle{ y'-\frac{y}{x}=2x^2}\)
Załozenie:
\(\displaystyle{ x\neq 0}\)
Niech:
\(\displaystyle{ u=\frac{y}{x}}\)
Wowczas:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=u+x \frac{du}{dx}}\)
Ponadto:
\(\displaystyle{ u+x\frac{du}{dx}=u+2x^2\\x\frac{du}{dx}=2x^2\\\frac{du}{dx}=2x\\u=x^2+C\\\frac{y}{x}=x^2+C\\y=x^3+Cx}\)
Uwzgledniajac warunki poczatkowe zadania otrzujemy, ze \(\displaystyle{ C=0}\)
Zatem rozwiazanie jest \(\displaystyle{ y(x)=x^3}\)
\(\displaystyle{ y'-\frac{y}{x}=2x^2}\)
Załozenie:
\(\displaystyle{ x\neq 0}\)
Niech:
\(\displaystyle{ u=\frac{y}{x}}\)
Wowczas:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=u+x \frac{du}{dx}}\)
Ponadto:
\(\displaystyle{ u+x\frac{du}{dx}=u+2x^2\\x\frac{du}{dx}=2x^2\\\frac{du}{dx}=2x\\u=x^2+C\\\frac{y}{x}=x^2+C\\y=x^3+Cx}\)
Uwzgledniajac warunki poczatkowe zadania otrzujemy, ze \(\displaystyle{ C=0}\)
Zatem rozwiazanie jest \(\displaystyle{ y(x)=x^3}\)