Matematyka.pl

Muszę podać 2-wymiarową miarę Lebesque'a zbiorów:
\(\displaystyle{ A= \left\{ ( x,y) \in \mathbb{R}^{2}: 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1, (x,y) \in \mathbb{Q}^{2} \right\} }\)
\(\displaystyle{ B= \left\{ ( x,y) \in \mathbb{R}^{2}: -1 \le x \le 1, -1 \le y \le 1, x+y \notin \mathbb{Q}^{2} \right\} }\)
\(\displaystyle{ C= \left\{ ( x,y) \in \mathbb{R}^{2}: x^2+y^2 \le 1, (x,y) \notin \mathbb{Q}^{2} \right\} }\)
Czy dobrze rozumuję, że miara zbioru \(\displaystyle{ A}\) wynosi \(\displaystyle{ 0}\), gdyż jest to przeliczalny zbiór punktów na płaszczyźnie?
Miara \(\displaystyle{ C}\) to po prostu pole tego koła, bo wyrzucam zbiór miary zero?
Jak to będzie wyglądać w przypadku zbioru \(\displaystyle{ B}\). Oczywiście wyrzucam wszystkie punkty \(\displaystyle{ (x,y) \in \mathbb{Q}^{2}}\) i tych jest przeliczalnie wiele ale poza tym wyrzucam punkty o obu współrzędnych niewymiernych, które po dodaniu są liczbą wymierną np. \(\displaystyle{ (\frac{ \sqrt{2} }{10}, \frac{1- \sqrt{2} }{10}) }\). Takich liczb będzie już nieprzeliczalnie wiele? Czy zatem miara \(\displaystyle{ B}\) również wynosi \(\displaystyle{ 0}\)? Ktoś mógłby rozwiać moje wątpliwości?

Wsk do b)
Jaka jest miara zbioru `\{(x,y): x+y=a\}`?

Okej, czyli zbiór \(\displaystyle{ \{(x,y): x+y=a\}}\) daje mi prostą na płaszczyźnie więc jest to zbiór miary zero. Zatem zbiór \(\displaystyle{ \{(x,y): x+y\in \mathbb{Q}\}}\) jest również zbiorem miary zero jako przeliczalna suma zbiorów mary zero. Zatem miara \(\displaystyle{ B}\) to po prostu pole tego kwadratu?

Tak