żS-4, od: robin5hood, zadanie 4

Liga
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 168
Rejestracja: 29 wrz 2006, o 18:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl

żS-4, od: robin5hood, zadanie 4

Post autor: Liga » 20 paź 2007, o 22:31

robin5hood pisze:Wzór dwumianowy Newtona, z którego tu musimy skorzystać ma następującą
postać:

\(\displaystyle{ (a+b)^{n}= \sum\limits_{i=0}^{n} {n\choose i} a^{n-i} b^{i}}\)
Policzmy najpierw współczynniki pierwszego (1), drugiego (2) i trzeciego (3)
wyrazu rozwinięcia dwumianu.

(1) \(\displaystyle{ {m \choose 0}=1}\)
(2) \(\displaystyle{ {m \choose 1}=m}\)
(3)\(\displaystyle{ {m \choose 2}=\frac{(m-1)m}{2}}\)

Wiemy zatem, że następujące współczynniki tworzą sumę równą 22, więc
\(\displaystyle{ 22=1+m+\frac{(m-1)m}{2}}\)
Po pewnych przekształceniach otrzymujemy równanie kwadratowe
\(\displaystyle{ m^2+m-42=}\)
Jego pierwiastkami są \(\displaystyle{ m_1=-7}\) lub \(\displaystyle{ m_2=6}\)
Pierwszą możliwość odrzucamy, bo m musi być liczbą naturalna.
Trzeci i piąty wyraz rozwinęcia mają odpowiednio nastemującą postać:
\(\displaystyle{ {m \choose 2} a^{m-2} b^{2}}\)
\(\displaystyle{ {m \choose 4} a^{m-4} b^{4}}\)
Z tresci zadania mamy, że te wyrazy tworza sumę równą 135
więc
\(\displaystyle{ 15a^4b^2+15a^2b^4=135}\)
\(\displaystyle{ a^4b^2+a^2b^4=9}\)
gdzie \(\displaystyle{ a=\sqrt{2^x}}\) \(\displaystyle{ b=\frac{1}{\sqrt{2^{x-1}}}}\)
Podstawiamy za a i b i otrzymujemy równanie
\(\displaystyle{ 2^{x+1}+2^{-x+2}=9}\)
podstawiamy \(\displaystyle{ t=2^x}\), t>0.
Otrzumujemy równanie kwadratowe
\(\displaystyle{ 2t^2-9t+4=0}\) o pierwiastkach \(\displaystyle{ t_1=\frac{1}{2}}\) lub \(\displaystyle{ t_2=4}\)
Mozemy już wyliczyć x, więc
\(\displaystyle{ 2^x=4}\) lub \(\displaystyle{ 2^x=\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ x=2}\) lub \(\displaystyle{ x=-1}\)
Ostatnio zmieniony 23 paź 2007, o 17:27 przez Liga, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6476
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2587 razy
Pomógł: 683 razy

żS-4, od: robin5hood, zadanie 4

Post autor: mol_ksiazkowy » 21 paź 2007, o 14:22

coż , błedow nie widac, czyli max, pkt

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

żS-4, od: robin5hood, zadanie 4

Post autor: scyth » 21 paź 2007, o 22:19

no to 5

ODPOWIEDZ