Matematyka.pl

Dzień dobry,
czy jest ktoś w stanie naprowadzić na poniższe sprawy
czy zmienna losowa \(\displaystyle{ \tau(x) =x }\) jest momentem stopu względem dowolnej filtracji. Odpowiedź uzasadnij.
oraz
Czy zmienna losowa \(\displaystyle{ \tau=const }\) jest momentem stopu względnej dowolnej filtracji. Odpowiedź uzasadnij.

Dzień dobry, a próbowałeś napisać, co to znaczy, że zmienna losowa jest momentem stopu? Bo to jedyne, co trzeba zrobić.

Jeżeli mam funkcje \(\displaystyle{ \mathbb{R} \rightarrow{} \mathbb{R}}\) i moment stopu to będzie jakaś stała \(\displaystyle{ c}\), że \(\displaystyle{ f(x)=c }\) to przeciwobraz jest zbiorem pustym, gdy \(\displaystyle{ c}\) nie należy do filtracji lub do Omegi, gdy \(\displaystyle{ c}\) należy, ponieważ wtedy jest mierzalne zatem jest momentem stopu?

Niestety, niewiele rozumiem z tego co napisałeś. Ale czuje, że mniej więcej dobrze rozumujesz, tylko zapis jest tak pokrętny i nieprecyzyjny, że nie wiadomo o co chodzi.

Napisz proszę, co musi spełniać zmienna losowa \(\displaystyle{ \tau}\), aby była momentem stopu. Taka ogólna definicja.

Zakładamy, że \(\displaystyle{ (\Omega, F,\mathbb{P})}\) jest przestrzenią probabilistyczną, z filtracją \(\displaystyle{ (F_t)_{t \in T}}\). Funkcję \(\displaystyle{ \tau : \Omega \rightarrow{} T \cup \{+\infty\}}\) nazywamy momentem zatrzymania, jeśli dla każdego \(\displaystyle{ t \in T}\) mamy \(\displaystyle{ \{\tau = t \} \in F_n}\)

Jak rozumiem, \(\displaystyle{ T}\) jest zbiorem dyskretnym, tak? Bo dla ciągłego, tam jest nierówność \(\displaystyle{ \le}\) zamiast równości. I na końcu powinien być indeks \(\displaystyle{ t}\), a nie \(\displaystyle{ n}\).

Ok, to weźmy ten podpunkt drugi, czyli \(\displaystyle{ \tau = c}\) dla pewnego stałej \(\displaystyle{ c}\). Ile wówczas wynosi ten zbiór dla \(\displaystyle{ t = c}\), a ile dla \(\displaystyle{ t \neq c}\)?

Dla \(\displaystyle{ t = c}\) mamy \(\displaystyle{ \Omega}\), a dla \(\displaystyle{ t \neq c }\) mamy zbiór pusty

Dokładnie, a każde sigma-ciało z filtracji zawiera te zbiory (z definicji sigma ciała, po prostu). Więc \(\displaystyle{ \tau}\) jest momentem zatrzymania.