Matematyka.pl

Dzień dobry

Proszę o pomoc i wskazówki, bo nie mam pomysłów na te granice.

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } x \sin \frac{1}{x} }\)
Gdyby dążyło to do zera, to by to było oczywiste.

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 1} (1-x)\tg \frac{x\pi }{2} }\)

Na razie tyle, potem dopiszę więcej/zrobię kolejny wątek.

Cześć, czy na wykładzie / ćwiczeniach dowiedziałaś się o tym, że \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x} = 1}\)?

No tak, ale nie rozważamy w pierwszym przypadku dążenia do zera.

Niepokonana pisze: ↑15 sty 2022, o 21:03\(\displaystyle{ \lim_{x\to 1} (1-x)\tg \frac{x\pi }{2} }\)

Zacznij od podstawienia \(\displaystyle{ x-1=t.}\)

JK

To nic, bo zawsze można sobie przekształcić. Na przykład jak masz taką granicę:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 1} \frac{\sin{(x-1)}}{x-1}}\), to zobacz, że jak sobie podstawisz \(\displaystyle{ t = x-1}\), czyli w zasadzie przesuniesz rozważania o jeden w lewo, to jeśli \(\displaystyle{ x}\) dążył do \(\displaystyle{ 1}\), to \(\displaystyle{ t}\) będzie dązyć do \(\displaystyle{ 1-1 = 0}\), czyli wychodzi

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 1} \frac{\sin{(x-1)}}{x-1} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin{t}}{t} = 1.}\)

W Twoim pierwszym przykładzie, po wrzuceniu iksa do mianownika, masz \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \frac{\sin{\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x}}}\). Co się stanie, jak podstawisz \(\displaystyle{ t = \frac{1}{x}}\)?