Obliczyć wysokość czworościanu o podanych wierzchołkach
: 15 sty 2022, o 19:38
Obliczyć wysokość czworościanu o wierzchołkach \(\displaystyle{ P = (0,0,1), Q = (1,2,3), R = (−2,5,6), S = (3,−2,1)}\) opuszczoną z wierzchołka \(\displaystyle{ S.}\)
Wynik według książki to \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2} }\), a mi cały czas wychodzi \(\displaystyle{ \sqrt{2}.}\)
Próbuję to rozwiązać w taki sposób, że objętość czworościanu \(\displaystyle{ = \frac{1}{3}\cdot\text{ pole trójkąta o wierzchołkach }P, Q, R \cdot h _{s}.}\)
Liczę \(\displaystyle{ V = \frac{1}{3}\cdot\left|(\vec{PQ}, \vec{PR}, \vec{PS}) \right|}\) i wychodzi mi \(\displaystyle{ 3}\).
Pole trójkąta liczę: \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot\left|(\vec{PQ}, \vec{PR}) \right|}\), bo to połowa pola równoległoboku rozpiętego na tych
wektorach i wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{9 \sqrt{2} }{2}.}\)
\(\displaystyle{ h _{s}=3\cdot\frac{ V _{cz}}{ P_{t} }=\sqrt{2}}\)
Co robię źle?
Wynik według książki to \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2} }\), a mi cały czas wychodzi \(\displaystyle{ \sqrt{2}.}\)
Próbuję to rozwiązać w taki sposób, że objętość czworościanu \(\displaystyle{ = \frac{1}{3}\cdot\text{ pole trójkąta o wierzchołkach }P, Q, R \cdot h _{s}.}\)
Liczę \(\displaystyle{ V = \frac{1}{3}\cdot\left|(\vec{PQ}, \vec{PR}, \vec{PS}) \right|}\) i wychodzi mi \(\displaystyle{ 3}\).
Pole trójkąta liczę: \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot\left|(\vec{PQ}, \vec{PR}) \right|}\), bo to połowa pola równoległoboku rozpiętego na tych
wektorach i wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{9 \sqrt{2} }{2}.}\)
\(\displaystyle{ h _{s}=3\cdot\frac{ V _{cz}}{ P_{t} }=\sqrt{2}}\)
Co robię źle?