Matematyka.pl

Problem jest następujący:

Zbadać czy funkcje \(\displaystyle{ g_{0}(x) = x, g_{1}(x) = x-1 }\) tworzą układ Czebyszewa na zbiorze Q=R.

Z przykładu, który udało mi się gdzieś znaleźć podejrzewam, że trzeba nawiązać do rekurencji w tym zadaniu, ale kompletnie nie wiem jak się za to zabrać.

Czy jest ktoś w stanie podpowiedzieć jak w takich zadaniach dążyć do rozwiązania?

Wielomiany Czebyszewa \(\displaystyle{ g_{k},\ \ k = 0,1,...}\) tworzą układ ortogonalny w przestrzeni \(\displaystyle{ L^2_{p} }\) z funkcją wagową \(\displaystyle{ w(x) = \frac{1}{\sqrt{1 -x^2}}.}\)

Sprawdzamy, czy \(\displaystyle{ \int_{-1}^{1}g_{k}\cdot g_{l} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = 0 }\) dla \(\displaystyle{ k\neq l.}\)

Proszę sprawdzić, czy

\(\displaystyle{ \int_{-1}^{1} g_{0}(x)\cdot g_{1}(x) \cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx = \int_{-1}^{1} x\cdot(x-1)\cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx =\ \ ...\ \ 0 ? }\)

Odpowiedź: nie tworzą.

Układ Czebyszewa tworzą wielomiany \(\displaystyle{ g_{0}(x) =1, \ \ g_{1}(x) = x. }\)

Zależność rekurencyjna dla wielomianów Czebyszewa:

\(\displaystyle{ \begin{cases} g_{0}(x) =1, \ \ g_{1}(x) = x \\ g_{k}(x) = 2x\cdot g_{k-1} - g_{k-2}(x), \ \ k= 2, 3,... \end{cases} }\)