żS-4, od: szydra, zadanie 1

Liga
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 168
Rejestracja: 29 wrz 2006, o 18:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl

żS-4, od: szydra, zadanie 1

Post autor: Liga » 20 paź 2007, o 22:28

szydra pisze:Zadanie rozwiążemy wprowadzając układ współrzędnych.
Niech prosta \(\displaystyle{ l}\) pokrywa się z osią \(\displaystyle{ OX}\), a współrzędne środka okręgu \(\displaystyle{ o}\) mają postać \(\displaystyle{ (0, y_{s})}\), gdzie \(\displaystyle{ y_{s}>0}\). Dodatkowo na osi \(\displaystyle{ OY}\) przyjmijmy jednostkę równą długości promienia okręgu \(\displaystyle{ o}\). Wówczas współrzędne \(\displaystyle{ (x, y)}\) środka okręgu stycznego do prostej \(\displaystyle{ l}\) oraz okręgu \(\displaystyle{ o}\) spełniają warunek:
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+(y-y_{s})^2}=1+y}\)
tzn. odległość środków rozważanych okręgów jest równa sumie długości ich promieni. Dalej mamy:
\(\displaystyle{ x^2+y^2-2yy_{s}+y_{s}^2=1+2y+y^2}\)
\(\displaystyle{ 2(y_{s}+1)y=x^2+y_{s}^2-1}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{x^2}{2(y_{s}+1)}+\frac{y_{s}-1}{2}}\)
Wykazaliśmy, że współrzędne środków okręgów o żądanej własności spełniają równanie, które przedstawia parabolę, co dowodzi tezy.
Ostatnio zmieniony 23 paź 2007, o 17:22 przez Liga, łącznie zmieniany 2 razy.

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

żS-4, od: szydra, zadanie 1

Post autor: scyth » 21 paź 2007, o 23:00

przydałby się rysunek, ale rozwiązanie jak najbardziej poprawne, 5/5

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6172
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2552 razy
Pomógł: 673 razy

żS-4, od: szydra, zadanie 1

Post autor: mol_ksiazkowy » 22 paź 2007, o 01:13

ok
brak zastzrezen

ODPOWIEDZ