Matematyka.pl

Pocisk został wystrzelony z powierzchni Ziemi pionowo do góry z prędkością początkową \(\displaystyle{ v_{0} = 1km/s}\). Uwzględniając zmianę siły ciężkości z wysokością znaleźć maksymalną wysokość, na jaką wzniesię się pocisk nad powierzchnię Ziemi. Promień Ziemi wynosi \(\displaystyle{ R_{z} = 6400km}\) a przysp. ziemskie \(\displaystyle{ g= 10m/s^{2}}\). Jaka powinna być minimalna prędkość pocisku, aby nie wrócił on na Ziemię?

\(\displaystyle{ E_{p}=-G\frac{Mm}{R_{z}}, gR_{z}^{2}=GM. \\
\Delta E = -g\frac{R_{z}^{2}m}{R_{z}+H} + gR_{z}m }\).
Ale co dalej? Jedno równanie, ale dwie niewiadome (\(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ H}\)).

Z zasady zachowania energii układu " Ziemia-Rakieta":

\(\displaystyle{ -G\frac{m \cdot M_{z}}{R_{z}} + \frac{1}{2}m\cdot v^2_{0} = -G\cdot \frac{m\cdot M_{Z}}{(R_{Z} +h )} + 0 \ \ (*)}\)

Uwzględnienie w równaniu (*)

\(\displaystyle{ G\frac{M_{Z}}{R_{Z}^2} = g. }\)

\(\displaystyle{ h = \ \ ... ? }\)

Równanie - wyprowadzenie wzoru na pierwszą prędkość kosmiczną \(\displaystyle{ v_{I} }\)
......................................................................................
\(\displaystyle{ v_{I} = \ \ ... ? }\)

Dodano po 25 minutach 41 sekundach:
Odpowiedzi:

\(\displaystyle{ h = \frac{R_{Z}\cdot v^2_{0}}{2g\cdot R_{Z} -v^2_{0}}.}\)

\(\displaystyle{ v_{I} = \sqrt{g\cdot R_{Z}}. }\)