Matematyka.pl

1. Niech \(\displaystyle{ k }\) będzie dodatnią liczbą całkowitą. Na przyjęciu spotkało się \(\displaystyle{ n > 2}\) gości, spośród których niektórzy znają się. Okazało się, że dla każdego niepustego podzbioru gości \(\displaystyle{ A}\) istnieje osoba, która zna co najwyżej \(\displaystyle{ k }\) osób z \(\displaystyle{ A}\). Podzbiór gości, spośród których każde dwie się znają, nazywamy kilką. Wykazać, że istnieje co najwyżej \(\displaystyle{ 2k n}\) klik.
2. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \frac{x}{ \{ x \} }= \lfloor x \rfloor +1. }\)
3. Niech \(\displaystyle{ k }\) i \(\displaystyle{ s }\) będą liczbami całkowitymi dodatnimi oraz \(\displaystyle{ \sqrt{3k-2} \leq s \leq \sqrt{4k}}\). Udowodnić, że istnieją liczby całkowite nieujemne \(\displaystyle{ t, u, v, w}\) takie, że
\(\displaystyle{ \begin{cases}k = t^2+u^2+v^2+w^2 \\ s=t+u+v+w. \end{cases}}\)
4. Na ile sposobów może wędrować goniec na szachownicy rozmiaru \(\displaystyle{ m }\) z jednego jej rogu do przeciwległego, jeśli na żadnym polu nie może być więcej niż jeden raz ?
5. Nierówność
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ 9a^2+8ab+7b^2 \leq 6 }\) to \(\displaystyle{ 7a+5b+12ab \leq 9. }\)
6. Wyznaczyć wszystkie rosnące bijekcje \(\displaystyle{ f }\) zbioru \(\displaystyle{ \RR }\) w siebie takie, że \(\displaystyle{ f(x)+ f^{-1}(x)=2x }\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR. }\)
\(\displaystyle{ f^{-1} }\) oznacza funkcję odwrotną do \(\displaystyle{ f }\)
7. Równoległościan
Długości boków i przekątnych równoległościanu są całkowite. Wykazać że przy tym założeniu długości wszystkich przekątnych są albo parzyste, albo wszystkie są nieparzyste.
8. Wyznaczyć \(\displaystyle{ a^7 +64a^2}\), jeśli \(\displaystyle{ a^3+4a=8.}\)
9. Udowodnić, że istnieje nieskończona ilość liczb całkowitych dodatnich \(\displaystyle{ a,b }\) , względnie pierwszych takich, że \(\displaystyle{ \frac{a^2-5}{b}}\) i \(\displaystyle{ \frac{b^2-5}{a}}\) też są całkowite.
10. Udowodnić że jeśli funkcja liniowo-ułamkowa (w arytmetyce modulo \(\displaystyle{ p}\); gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą) ma trzy punkty stałe, to jest identycznością.

Premislav pisze: ↑14 sty 2022, o 20:26

5.:    

Mamy
\(\displaystyle{ 7\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+5\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+2(a-b)^2\ge 0 \Leftrightarrow\\\Leftrightarrow 9a^2+8ab+7b^2+3\ge 7a+5b+12ab}\), c.k.d.

Jak się zauważa takie rzeczy?

Dużo praktyki, kilka lat temu nie umiałem zwinąć nawet najprostszych rzeczy i wszystko leciało z wyróżników. Natomiast można zaproponować odrobinę bardziej usystematyzowane rozwiązanie.

funkcja liniowo-ułamkowa (w arytmetyce modulo p; gdzie p jest liczbą pierwszą)

Co to za funkcja w ciele \(\displaystyle{ Z_{p}}\), w ciele \(\displaystyle{ Z_{p}}\) są ułamki? jakie?

Dodano po 9 minutach 21 sekundach:
Chciałbym się coś dowiedzieć na temat ułamków w modularnym ciele...

10 cd

7 Dodano po 1 minucie 9 sekundach:
Zostały 1, 3, 4, 6, 9 i 10

mol_ksiazkowy pisze: ↑22 sty 2022, o 11:00 7

Ukryta treść:    

szkic
Są cztery przekątne: po dwie w płaszczyznach rozcinających równoległościan; \(\displaystyle{ p, q, r, s}\) oraz trzy boki \(\displaystyle{ a, b, c}\); i zależność pomiędzy nimi \(\displaystyle{ p^2+q^2+ r^2+ s^2 = 4(a^2+b^2+c^2)}\) teza wynika więc z teorii reszt (modulo 4)

Dodano po 1 minucie 9 sekundach:
Zostały 1, 3, 4, 6, 9 i 10

Tak z ciekawości: skąd ta zależność?

Elayne pisze: ↑22 sty 2022, o 13:03

7:    

Przekątna rozcinająca równoległościan jest równa \(\displaystyle{ \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\).

Prostopadłościan ok, ale równoległościan?

mam pytanie do 3-go... dla \(\displaystyle{ k=8 \wedge s=5}\) jak będzie?

a4karo pisze: ↑22 sty 2022, o 13:16

Elayne pisze: ↑22 sty 2022, o 13:03

7:    

Przekątna rozcinająca równoległościan jest równa \(\displaystyle{ \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\).

Prostopadłościan ok, ale równoległościan?

bo \(\|u+v+w\|^2+\|u+v-w\|^2+\|u-v+w\|^2+\|-u+v+w\|^2=4(\|u\|^2+\|v\|^2+\|w\|^2)\)

Co do pierwszego to też jest dziwne weźmy graf pełny w tym przypadku \(\displaystyle{ k=n}\) w takim grafie klik będzie:

jednopunktowe, odcinki, trójkąty, czworokąty z przekątnymi, itd... razem będzie:

\(\displaystyle{ 2^n-1}\) klik a ma nie przekraczać \(\displaystyle{ 2kn=2n^2}\), lecz dla \(\displaystyle{ n=7}\) już się tak nie dzieje...

Dodano po 4 godzinach 17 minutach 6 sekundach:
W szóstym będzie po rozpatrzeniu rekurencji:

\(\displaystyle{ y=x-d}\)

Dodano po 50 sekundach:
Tak jak pisałem w trzecim coś szwankuje...

Dodano po 13 minutach 9 sekundach:
W czwartym trudno wyszukać jakiś sensowny wzór , bo goniec może od lewego dolnego do górnego prawego punktu zawijać bardzo zawijaste łamane nieprzecinające się, wiemy tylko tyle że jeżeli gonimy po czarnych polach to każde czarne pole leżące na krawędzi ale nie na rogu może mieć tylko dwie incydencje z polami wyżej, natomiast pola środkowe mają po cztery incydencje , czarne pola narożnikowe po lewej u góry i prawej na dole można pominąć, lewy dolny narożnik ma tylko jedną incydencję wychodzącą i prawy górny narożnik ma tylko wchodzącą...

I w ten sposób można tworzyć macierze sąsiedztwa grafu skierowanego czarnych pól szachownicy i zliczać potęgi czyli inaczej drogi między \(\displaystyle{ a_{1,1}}\) a \(\displaystyle{ a_{n,n}}\) - prawy górny róg... I trzeba pamiętać, że macierz nie może mieć ani jednego punktu symetrii bo wtedy byłaby możliwość przechodzenia przez to samo pole...

Dodano po 2 dniach 8 godzinach 28 minutach 6 sekundach:
Co do zadania 9 to zauważyłem ciekawą zależność a mianowicie:

Więc może od początku:

Wypisywałem pary liczb spełniających zależność zadaniową, napisałem nawet prymitywny programik w C++ , który generuje takie liczby:
( nie ma ich aż tak za dużo i za gęsto)

Wypisywałem pary: \(\displaystyle{ (a,b)}\) gdzie:\(\displaystyle{ a>=b}\) równe mogą zaistnieć tylko do liczby pięć, która w tym zadaniu jest krytyczna

I teraz zauważyłem ciekawą zależność otóż mianowicie jeżeli:

dana para spełnia zależność zadaniową np: \(\displaystyle{ (a,b) , a>b}\) i \(\displaystyle{ a}\) będzie liczbą pierwszą, \(\displaystyle{ a=p}\) to na pewno będzie istniała para: \(\displaystyle{ (c,p), c>p}\)

Otóż niech zachodzi:

\(\displaystyle{ (p,b) , p>5 }\)

Z zadania wiadomo, że: \(\displaystyle{ p|b^2-5}\) ale kiedy to zachodzi, otóż zachodzi wtedy gdy: \(\displaystyle{ Z_{p}}\) jest ciałem gdzie \(\displaystyle{ 5}\) jest resztą kwadratową czyli istnieje takie \(\displaystyle{ r}\), że:\(\displaystyle{ r^2=5 \mod p}\)

Można założyć, że:

\(\displaystyle{ b=p-r}\) więc:

\(\displaystyle{ a=p|(p-r)^2-5=p^2-2pr+r^2-5=0 \mod p}\)

ale też zachodzi:

\(\displaystyle{ b=p-r|p^2-5=p^2-r^2=(p-r)(p+r)}\)

Ale się znajdzie też takie \(\displaystyle{ c}\), że:

\(\displaystyle{ c=kp+r, k>=1, k<p}\)

i zajdzie:

\(\displaystyle{ c^2-5=0 \mod p}\)

Oraz: \(\displaystyle{ c| p^2-5=p^2-r^2=(p-r)(p+r)}\)

bo:

\(\displaystyle{ p^2-5=fd, f>p }\)

Więc widać, że każda liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\) , której pięć jest resztą kwadratową spełnia nasze zadanie w sposób nawet podwójny:

\(\displaystyle{ (p,b) , p>b \wedge (c,p) , c>p }\)

gdzie: \(\displaystyle{ b=p-r, r^2=5}\)

piątka jako taka spełnia podwójnie warunek zadania bo:

\(\displaystyle{ 5|5^2-5}\) ale do rozważań wygodnie było wziąć większe od pięć i pierwsze...

Dodano po 28 minutach 29 sekundach:
A tu liczby spełniające tę zależność:
Dodano po 2 dniach 20 godzinach 5 minutach 39 sekundach:
Jeszcze jestem winny sprecyzowania problemu a mianowicie jeżeli para:

\(\displaystyle{ (a,b) , a>b}\) spełnia warunki zadania to istnieje takie \(\displaystyle{ p>a}\) niekoniecznie pierwsze, że \(\displaystyle{ (p,a)}\) też spełnia warunki zadania... Pokażę na przykładzie o co mi chodzi:

\(\displaystyle{ (11,4)}\) - spełnia warunki zadania, ale \(\displaystyle{ 11-4=7}\) jak widać \(\displaystyle{ 4 \wedge 7}\) spełniają: (*) \(\displaystyle{ 4^2=7^2=5 \mod 11}\)

I teraz pytanie jak skonstruować następną parę spełniającą warunek zadania mając dwie reszty spełniające (*), wystarczy poszukać takiego \(\displaystyle{ k}\), żeby:

następna para będzie potaci: \(\displaystyle{ (p,11) , p=11k+7}\), w tym wypadku: \(\displaystyle{ k=2, p=29}\), potem następne \(\displaystyle{ p }\)
będzie: \(\displaystyle{ (p,29), p=29k+18, k=2}\) i tak ta piramida może rosnąć w nieskończoność, nie muszą to być liczby pierwsze , ale grupa mnożenia takiego pierścienia będzie wyglądać:

\(\displaystyle{ Z_{p_{n}}^*=\left\{ 1,...,p_{n-1},...,p_{n}-p_{n-1}\right\} }\) gdzie: \(\displaystyle{ p_{n-1}^2=5, (p_{n}-p_{n-1})^2=5}\)

I taka nieskończona wieża spełnia warunki zadania...