Matematyka.pl

1.czy jesli A,B zwarty to czy z tego wynika ze ich suma jest zbiorem zwartym.
2.Czy jesli A zwarty to czy pochodna zbioru jest takze zbiorem zwartym.
3.czy jesli A zwarty to czy jego brzeg też bedzie zwarty
odpowiedz uzasadnij.

Jakiś kontekst do tego zadania? Czy zbiory te są podzbiorami jakiejś ustalonej nadprzestrzeni? Czy twoja definicja zbioru zwartego wymaga, żeby topologia była Hausdorffa?

Ustalmy dowolne pokrycie \(\displaystyle{ \left\{ C_i:i\in I\right\} }\) zbioru \(\displaystyle{ A \cup B}\). Rozważmy pokrycia \(\displaystyle{ A}\) oraz \(\displaystyle{ B}\) odpowiednio


ze zwartości z tych pokryć można wybrać podpokrycia skończone


tu zaznaczam, że zbiory indeksów są skończone \(\displaystyle{ \left| I_{A}\right|,\left| I_B\right|< \infty }\). Tak na oko \(\displaystyle{ \left\{ C_i:i\in I_A \text{ lub }i\in I_B\right\} }\) powinien być skończonym pokryciem \(\displaystyle{ A \cup B}\).

PS Uważam, że

• nawet \(\displaystyle{ \left\{ C_i:i\in I\right\} }\) można potraktować jako pokrycie \(\displaystyle{ A}\) oraz \(\displaystyle{ B}\) i nie trzeba nic przekrawać. Wyciągamy z \(\displaystyle{ \left\{ C_i:i\in I\right\} }\) podpokrycie skończone zbioru \(\displaystyle{ A}\) oraz \(\displaystyle{ B}\) i sumujemy,

• zadanie jest niezależne od topologii.

Janusz Tracz, przecież zwartość działa tylko dla pokryć otwartych. Te pokrycia

Janusz Tracz pisze: 13 sty 2022, o 22:55

\(\displaystyle{ \left\{ C_i \cap A: i\in I\right\} \quad \& \quad \left\{ C_i \cap B: i\in I\right\}}\)

otwarte być nie muszą.

W \(\displaystyle{ A}\) i w \(\displaystyle{ B}\) są (relatywnie) otwarte. A to tam stosujemy zwartość i wyciagnięcie podpokryć skończonych.

Racja, zwracam honor.

matmatmm pisze: 13 sty 2022, o 22:44 Jakiś kontekst do tego zadania? Czy zbiory te są podzbiorami jakiejś ustalonej nadprzestrzeni? Czy twoja definicja zbioru zwartego wymaga, żeby topologia była Hausdorffa?

tak, wymaga żeby była Hausdorfa.

Jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest zwarty w \(\displaystyle{ T_2}\) to

• \(\displaystyle{ A}\) jest domknięty zatem \(\displaystyle{ \text{bd}\,A=\text{cl}\,A \setminus \text{int}\, A =A \setminus \text{int}\, A \subset A}\),

• zbiór \(\displaystyle{ \text{bd}\,A=\text{cl}\,A \cap \text{cl}\,A^{\mathrm{c}}}\) więc jest domknięty,

• domknięte podzbiory przestrzeni zwartej są zwarte.

Koledzy, dawajcie wskazówki, a nie gotowce.