Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie niestałą funkcją holomorficzną określoną w obszarze \(\displaystyle{ U}\) zawierającym domknięte koło D(0, 1). Pokazać że jeśli dla każdego \(\displaystyle{ z \in S1 =\left\{ z : \left| z\right| = 1\right\} }\) mamy \(\displaystyle{ \left| f(z)\right| = 1}\), to \(\displaystyle{ f}\) ma przynajmniej jeden pierwiastek w kole \(\displaystyle{ D\left( 0,1\right) }\).

No i nasuwa się od razu twierdzenie Rouchego ponieważ na krzywej \(\displaystyle{ \gamma=D\left( 0,1\right)}\) mamy dane na przykład szacowanie \(\displaystyle{ \left| f(z)\right| \le \left| -g(z) \right| }\) albo dowolny inny wielomian dla którego spełnione jest szacowanie jednak wtedy pokazuje, że równanie \(\displaystyle{ f(z)-g(z)=0}\) ma tyle samo rozwiązań co równanie \(\displaystyle{ -g(z)=0}\) czyli przynajmniej jedno jak dobiore odpowiednie \(\displaystyle{ g(z)}\), czyli w \(\displaystyle{ D\left( 0,1\right) }\) istnieje \(\displaystyle{ z}\) że zachodzi \(\displaystyle{ f(z)=g(z)}\) i to mi nic nie daje bo musiałbym brać \(\displaystyle{ g(z)=0}\) ale wtedy nie zachodzi już szacowanie i nie wiem jak dobrać odpowiednie \(\displaystyle{ g(z)}\) żeby jakoś to ruszyć.

Funkcja \(\displaystyle{ f }\) nie ma zer wewnątrz \(\displaystyle{ D(0,1). }\)

Wskazówka: dowodzimy nie wprost, rozważając funkcję \(\displaystyle{ g = \frac{1}{f} }\) i stosując zasadę maksimum - dochodzimy do sprzeczności, że \(\displaystyle{ f }\) musi być stała w \(\displaystyle{ D(0,1). }\)

janusz47 pisze: 11 sty 2022, o 21:26 Funkcja \(\displaystyle{ f }\) nie ma zer wewnątrz \(\displaystyle{ D(0,1). }\)

Wskazówka: dowodzimy nie wprost, rozważając funkcję \(\displaystyle{ g = \frac{1}{f} }\) i stosując zasadę maksimum - dochodzimy do sprzeczności, że \(\displaystyle{ f }\) musi być stała w \(\displaystyle{ D(0,1). }\)

Intrygujące. Twierdzisz że funkcja `f(z)=z` spełniającą założenia, nie ma pierwiastków w kole jednostkowym?

A skąd wiemy, że funkcja \(\displaystyle{ f(z) = z? }\)

janusz47 pisze: 12 sty 2022, o 08:09 A skąd wiemy, że funkcja \(\displaystyle{ f(z) = z? }\)

Nie wiemy. Ale to jest przykład na to, że Twój argument nie jest poprawny.

Dodano po 12 minutach 38 sekundach:
Inna sprawa, że dla funkcji stałej twierdzenie nie zachodzi.

A jaka jest postać zbioru \(\displaystyle{ S_{1}, }\) na którym ma być ona określona?

janusz47 pisze: 12 sty 2022, o 08:48 A jaka jest postać zbioru \(\displaystyle{ S_{1}, }\) na którym ma być ona określona?

Przeczytałeś zadanie?

To pytanie nic nie wnosi do stwierdzenia, że przyjęta metoda niewprost rozwiązania tego zadania jest poprawna.

janusz47 pisze: 11 sty 2022, o 21:26 Funkcja \(\displaystyle{ f }\) nie ma zer wewnątrz \(\displaystyle{ D(0,1). }\)

Wskazówka: dowodzimy nie wprost, rozważając funkcję \(\displaystyle{ g = \frac{1}{f} }\) i stosując zasadę maksimum - dochodzimy do sprzeczności, że \(\displaystyle{ f }\) musi być stała w \(\displaystyle{ D(0,1). }\)

Wybacz, ale to, co tu napisałeś to nie jest dowód nie wprost. To jest twierdzenie, że funkcja nie ma zer w kole jednostkowym. A że wskazówka dowodzi czegos zupełnie innego to dowód na to, że nie kontrolujesz tego, co piszesz.

Dowód nie wprost.
Jeśli funkcja \(\displaystyle{ f }\) nie ma zera wewnątrz jednostkowego dysku, to funkcja \(\displaystyle{ g = \frac{1}{f} }\) jest funkcją analityczną w sąsiedztwie z \(\displaystyle{ |g|=1. }\)
Z zasady maksimum wynika, że \(\displaystyle{ |g(0)|≤1,}\) równoważnie \(\displaystyle{ |f(0)|≥1,}\) czyli \(\displaystyle{ f }\) osiąga maksimum wewnątrz \(\displaystyle{ D[0,1]. }\)
Ponownie z zasady maksimum wynika, że \(\displaystyle{ f = const.}\) - absurd. Zaprzeczenie dowodzi, że funkcja \(\displaystyle{ f }\) musi mieć przynajmniej jeden pierwiastek w kole \(\displaystyle{ D(0,1). }\)