Matematyka.pl

Mam rozwiązać następujące równanie różniczkowe:
$$x'=2e^t-x, x(0)=1$$
I trzeba zrobić korzystając z tw. Picarda (czyli metodą kolejnych przybliżeń, wyznaczyć pierwsze trzy przybliżenia ). Udało mi się tyle zapisać:
$$x_1(t)=1$$
$$x_2(t)=1+ \int_{0}^{t} f(s,1)ds=1+ \int_{0}^{t} (2e^s-1)ds=-2e^t+t+1$$
$$x_3(t)=1+ \int_{0}^{t} f(s,-2e^s+s+1)ds=1+ \int_{0}^{t} (2e^s+2e^s-s+1)ds=1-4e^t+ \frac{t^2}{2} +t$$
Nie jestem pewien czy dobrze robię? Czy potrafiłby ktoś doradzić ? I nie wiem tez do końca jak ewentualnie dokończyć i rozwiązań do końca do równanie.

Funkcja \(\displaystyle{ x_2}\) jest moim zdaniem źle policzona więc potem też jest błąd. Poza tym liczysz dobrze czyli korzystając z rekurencji tak jak Picard proponował. Jak nie widać co się dzieje to trzeba liczyć dalej. Zacznę numerację standardowo od \(\displaystyle{ 0}\) wtedy mamy

\(\displaystyle{ x_0(t)=1}\)

\(\displaystyle{ x_1(t)=2 e^t-1-t}\)

\(\displaystyle{ x_2(t)=1+t+t^2/2!}\)

\(\displaystyle{ x_3(t)=2 e^t -1-t-t^2/2! -t^3/3! }\)

\(\displaystyle{ x_4(t)=1+t+t^2/2!+t^3/3!+t^4/4!}\)

\(\displaystyle{ x_5(t)=2e^t-1-t^2/2!-t^3/3!-t^4/4!-t^5/5!}\)

można więc postawić hipotezę, że dla każdego \(\displaystyle{ n\in\NN}\) mamy

Formalna weryfikacja wymaga indukcji. W kroku indukcyjnym pewnie trzeba sprawdzić, że


w oparciu o powyższe wzory (i analizę przypadków \(\displaystyle{ n}\) parzyste lub nie). Co do rozwiązana to widać, że funkcje \(\displaystyle{ x_{2n}( \cdot ),x_{2n+1}( \cdot )}\) punktowo dążą do funkcji \(\displaystyle{ t\mapsto e^t}\) i to jest szukane rozwiązanie. Faktycznie \(\displaystyle{ t\mapsto e^t}\) spełnia zagadnienie z treści.

Dzięki wielkie za pomoc.