Mechanika płynów - jak ustawiać warunki
: 1 sty 2022, o 10:46
Witam. Mam pytanie do znających lepiej ten temat niż ja. Mianowicie mam problem z ustanawianiem warunków brzegowych dla równań Naviera-Stokesa.
\(\displaystyle{ \rho \left( \frac{ \partial v _{r} }{ \partial t} + v _{r} \frac{ \partial v _{r} }{ \partial r} + \frac{v _{\theta} }{r} \frac{ \partial v _{r} }{ \partial \theta} - \frac{ v _{\theta} ^{2} }{r} + v _{z} \frac{ \partial v _{r} }{ \partial z} \right) = - \frac{ \partial p}{ \partial r} + \rho g _{r} + \mu \left( \frac{ \partial }{ \partial r} \left( \frac{1}{r} \frac{ \partial }{ \partial r} (r v _{r} ) \right) + \frac{1}{r ^{2} } \frac{ \partial ^{2} v _{r} }{ \partial \theta ^{2} } - \frac{2}{r ^{2} } \frac{ \partial v _{\theta} }{ \partial \theta} + \frac{ \partial ^{2} v _{r} }{ \partial z ^{2} } \right) }\)
\(\displaystyle{ \rho \left( \frac{ \partial v _{\theta} }{ \partial t} + v _{r} \frac{ \partial v _{\theta} }{ \partial r} + \frac{v _{\theta} }{r} \frac{ \partial v _{\theta} }{ \partial \theta} + \frac{ v _{\theta} v _{r} }{r} + v _{z} \frac{ \partial v _{\theta} }{ \partial z} \right) = - \frac{1}{r} \frac{ \partial p}{ \partial \theta} + \rho g _{\theta} + \mu \left( \frac{ \partial }{ \partial r} \left( \frac{1}{r} \frac{ \partial }{ \partial r} (r v _{\theta} ) \right) + \frac{1}{r ^{2} } \frac{ \partial ^{2} v _{\theta} }{ \partial \theta ^{2} } + \frac{2}{r ^{2} } \frac{ \partial v _{r} }{ \partial \theta} + \frac{ \partial ^{2} v _{\theta} }{ \partial z ^{2} } \right) }\)
\(\displaystyle{ \rho \left( \frac{ \partial v _{z} }{ \partial t} + v _{r} \frac{ \partial v _{z} }{ \partial r} + \frac{v _{\theta} }{r} \frac{ \partial v _{z} }{ \partial \theta} + v _{z} \frac{ \partial v _{z} }{ \partial z} \right) = - \frac{ \partial p}{ \partial z} + \rho g _{z} + \mu \left( \frac{1}{r} \frac{ \partial }{ \partial r} \left( r \frac{ \partial v _{z} }{ \partial r} \right) + \frac{1}{r ^{2} } \frac{ \partial ^{2} v _{z} }{ \partial \theta ^{2} } + \frac{ \partial ^{2} v _{z} }{ \partial z ^{2} } \right) }\)
Rozważmy dla przykładu dwie sytuacje:
1. Mamy dany cylinder o długości \(\displaystyle{ L >> R}\) i promieniu \(\displaystyle{ R}\) oraz kulę o promieniu \(\displaystyle{ r<R}\) umieszczoną w cylindrze w odległości \(\displaystyle{ x}\). Chciałbym znaleźć pole prędkości ściśliwego gazu (o gęstości \(\displaystyle{ \rho}\)) przepływającego w tym cylindrze pod wpływem różnicy ciśnień \(\displaystyle{ p _{1} > p _{2} }\). Przepływ ten jest powolny i nieturbulentny. Gaz ma proste właściwości (opisuje się równaniem Clapeyrona). Na wejściu cylindra gaz ma jednolitą prędkość \(\displaystyle{ v _{0} }\). Załóżmy, że kula nie przemieszcza się pod wpływem gazu, jest jedynie dla niego przeszkodą.
2. Mamy identyczną sytuację, jednak w tym przypadku chemy, aby kula obracała się z szybkością kątową \(\displaystyle{ \omega}\) wokół osi \(\displaystyle{ k}\) prostopadłej do osi cylindra.
Prosiłbym o pomoc w uproszczeniu równań Naviera-Stokesa. Jakie warunki powinienem nanieść na te równania?
\(\displaystyle{ \rho \left( \frac{ \partial v _{r} }{ \partial t} + v _{r} \frac{ \partial v _{r} }{ \partial r} + \frac{v _{\theta} }{r} \frac{ \partial v _{r} }{ \partial \theta} - \frac{ v _{\theta} ^{2} }{r} + v _{z} \frac{ \partial v _{r} }{ \partial z} \right) = - \frac{ \partial p}{ \partial r} + \rho g _{r} + \mu \left( \frac{ \partial }{ \partial r} \left( \frac{1}{r} \frac{ \partial }{ \partial r} (r v _{r} ) \right) + \frac{1}{r ^{2} } \frac{ \partial ^{2} v _{r} }{ \partial \theta ^{2} } - \frac{2}{r ^{2} } \frac{ \partial v _{\theta} }{ \partial \theta} + \frac{ \partial ^{2} v _{r} }{ \partial z ^{2} } \right) }\)
\(\displaystyle{ \rho \left( \frac{ \partial v _{\theta} }{ \partial t} + v _{r} \frac{ \partial v _{\theta} }{ \partial r} + \frac{v _{\theta} }{r} \frac{ \partial v _{\theta} }{ \partial \theta} + \frac{ v _{\theta} v _{r} }{r} + v _{z} \frac{ \partial v _{\theta} }{ \partial z} \right) = - \frac{1}{r} \frac{ \partial p}{ \partial \theta} + \rho g _{\theta} + \mu \left( \frac{ \partial }{ \partial r} \left( \frac{1}{r} \frac{ \partial }{ \partial r} (r v _{\theta} ) \right) + \frac{1}{r ^{2} } \frac{ \partial ^{2} v _{\theta} }{ \partial \theta ^{2} } + \frac{2}{r ^{2} } \frac{ \partial v _{r} }{ \partial \theta} + \frac{ \partial ^{2} v _{\theta} }{ \partial z ^{2} } \right) }\)
\(\displaystyle{ \rho \left( \frac{ \partial v _{z} }{ \partial t} + v _{r} \frac{ \partial v _{z} }{ \partial r} + \frac{v _{\theta} }{r} \frac{ \partial v _{z} }{ \partial \theta} + v _{z} \frac{ \partial v _{z} }{ \partial z} \right) = - \frac{ \partial p}{ \partial z} + \rho g _{z} + \mu \left( \frac{1}{r} \frac{ \partial }{ \partial r} \left( r \frac{ \partial v _{z} }{ \partial r} \right) + \frac{1}{r ^{2} } \frac{ \partial ^{2} v _{z} }{ \partial \theta ^{2} } + \frac{ \partial ^{2} v _{z} }{ \partial z ^{2} } \right) }\)
Rozważmy dla przykładu dwie sytuacje:
1. Mamy dany cylinder o długości \(\displaystyle{ L >> R}\) i promieniu \(\displaystyle{ R}\) oraz kulę o promieniu \(\displaystyle{ r<R}\) umieszczoną w cylindrze w odległości \(\displaystyle{ x}\). Chciałbym znaleźć pole prędkości ściśliwego gazu (o gęstości \(\displaystyle{ \rho}\)) przepływającego w tym cylindrze pod wpływem różnicy ciśnień \(\displaystyle{ p _{1} > p _{2} }\). Przepływ ten jest powolny i nieturbulentny. Gaz ma proste właściwości (opisuje się równaniem Clapeyrona). Na wejściu cylindra gaz ma jednolitą prędkość \(\displaystyle{ v _{0} }\). Załóżmy, że kula nie przemieszcza się pod wpływem gazu, jest jedynie dla niego przeszkodą.
2. Mamy identyczną sytuację, jednak w tym przypadku chemy, aby kula obracała się z szybkością kątową \(\displaystyle{ \omega}\) wokół osi \(\displaystyle{ k}\) prostopadłej do osi cylindra.
Prosiłbym o pomoc w uproszczeniu równań Naviera-Stokesa. Jakie warunki powinienem nanieść na te równania?