Matematyka.pl

Dane są wielomiany: \(\displaystyle{ W(x)=(6x+2)^2, \ P(x)=12x+4, \ Q(x)=18x^2-ax+2}\). Sprawdź, czy istnieje liczba \(\displaystyle{ a}\), dla której \(\displaystyle{ W(x)=P(x)\cdot Q(x)}\).

\(\displaystyle{ W(x)=216x^3+216x^2+72x+8, \ P(x)\cdot Q(x)=216x^3-12ax^2+24x+72x^2-4ax+8}\), zatem
\(\displaystyle{ 216x^3+216x^2+72x+8=216x^3-12ax^2+24x+72x^2-4ax+8 \\
144x^2+48x+12x^2a+4ax=0\\
48(3x^2+x)+4a(3x^2+x)=0 \\
(3x^2+x)(48+4a)=0}\)
czyli \(\displaystyle{ 3x^2+x=0}\) lub \(\displaystyle{ 48+4a=0}\). Z pierwszego równania otrzymujemy \(\displaystyle{ x_1=-\frac{1}{3}, \ x_2=0,}\) a z drugiego \(\displaystyle{ a=-12}\). Zatem istnieje taka liczba \(\displaystyle{ a}\) i jest równa \(\displaystyle{ -12}\).

Czy powyższe rozwiązanie zadania jest poprawne?

Rozumiem, że się pomyliłaś w zapisie i miało być \(\displaystyle{ W(x)=(6x+2)^3}\) (to sugeruje Twoje rozwiązanie).
Jeśli tak, to Twoje rozwiązanie jest OK.

Mniej liczenia wyjdzie, jeśli zauważymy, że \(\displaystyle{ -\frac 1 3}\) jest potrójnym pierwiastkiem \(\displaystyle{ W(x)}\), więc aby zaszła równość tych wielomianów, musi być też potrójnym pierwiastkiem \(\displaystyle{ P(x)\cdot Q(x)}\), czyli musi być
\(\displaystyle{ Q(x)=18\left(x+\frac 1 3\right)^2}\), no ale Twój sposób też jest jak najbardziej w porządku.

Premislav pisze: 27 gru 2021, o 15:01 Rozumiem, że się pomyliłaś w zapisie i miało być \(\displaystyle{ W(x)=(6x+2)^3}\) (to sugeruje Twoje rozwiązanie).

Tak, dokładnie, miał być sześcian. Dziękuję bardzo za odpowiedź.