Matematyka.pl

Mamy dane prostokąty o bokach:

\(\displaystyle{ a \le b \in \left\{ 1,2,3,...,n\right\} }\)

Mamy relację podobieństwa między tymi prostokątami, obliczyć ile jest klas abstrakcji w tej relacji...

W każdej klasie abstrakcji jest dokładnie jeden prostokąt o bokach \(\displaystyle{ a, b \in \{ 1, \ldots, n \}}\), gdzie \(\displaystyle{ a \le b}\) i \(\displaystyle{ a \perp b}\). Zatem tych klas jest tyle co par \(\displaystyle{ (a, b)}\) o wymienionych własnościach, czyli \(\displaystyle{ \Phi(n)}\).

Ładna i zgrabna odpowiedź. Oczywiście zadanie można rozszerzyć fajnie nawet na \(\displaystyle{ \RR^n.}\)

Jeżeli wmieszamy w to jeszcze kwadraty to oczywiście trzeba będzie dodać jeden...

arek1357 pisze: 26 gru 2021, o 11:41Jeżeli wmieszamy w to jeszcze kwadraty to oczywiście trzeba będzie dodać jeden...

Kwadraty już są uwzględnione w rachunku i odpowiadają parze \(\displaystyle{ (1, 1)}\).

aaa ok

Szczerze mówiąc nie wiem, co oznacza \(\displaystyle{ a \perp b}\), ale dowód jest banalny:
Tw. Ilość klas abstrakcji jest równa \(\displaystyle{ K(n)=\sum_{k=1}^n \varphi(k)}\), gdzie \(\displaystyle{ \varphi(n)}\) oznacza ilość liczb nie większych od `n` i względnie pierwszych z nią.

Dowód prze indukcję: dla `n=1` wynik jest trywialny. Załóżmy prawdziwość twierdzenia dla pewnego `n-1\ge 1`. Prostokąt `(a,n)` nie generuje nowej klasy wtedy i tylko wtedy, gdy jest podobny do prostokąta `(a/k,n/k)` dla `k>1`, a zatem wtedy i tylko wtedy gdy `NWD(a,n)>1`. Zatem `K(n)=K(n-1)+\varphi(n)`

a4karo pisze: 26 gru 2021, o 23:57Szczerze mówiąc nie wiem, co oznacza \(\displaystyle{ a \perp b}\)

Nie spotkałeś się nigdy z takim oznaczeniem na liczby względnie pierwsze?

Ja ten symbol już gdzieś widziałem ale od razu domyśliłem się o co biega. Bardziej znany mi ten symbol:

\(\displaystyle{ (a,b)=1}\)

Zadanie to mimo iż rozwiązanie niby banalne ale z punktu dydaktyki lepsze niż dziesięć innych poniżej...

arek1357 pisze: 27 gru 2021, o 00:19 Ja ten symbol już gdzieś widziałem ale od razu domyśliłem się o co biega. Bardziej znany mi ten symbol:

\(\displaystyle{ (a,b)=1}\)

I nic dziwnego, gdyż notacja \(\displaystyle{ (a,b)=1}\) lub \(\displaystyle{ NWD(a,b)=1}\) to standardowy sposób zapisu, że \(\displaystyle{ a,b}\) są względnie pierwsze. W naturalny sposób uogólnia się on na większą liczbę liczb. Zauważyłem, że zapis \(\displaystyle{ a\perp b}\) jest czasami stosowany przez studentów informatyki.

To oznaczenie zaproponowali Graham i Knuth w Matematyce Konkretnej:

Pojęcie to jest na tyle użyteczne w praktyce, że powinniśmy mieć na nie specjalne oznaczenie. Niestety! Teorioliczbowcy nie uzgodnili tak dobrego oznaczenia, jak to, które mamy zamiar zaproponować. Zatem wołamy: usłyszcie nas, o matematycy całego świata! Nie czekajmy ani chwili dłużej! Możemy uprościć wiele wzorów przez przyjęcie teraz nowej notacji! Zgódźmy się na notację \(\displaystyle{ m \perp n}\), czytaną jako "\(\displaystyle{ m}\) pierwsze względem \(\displaystyle{ n}\)", jeśli \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) są względnie pierwsze.

Ja zaś, o ile dobrze pamiętam, spotkałem się z nim już w liceum i nie było to na lekcji informatyki.

Oczywiście różni ludzie mogą proponować różne oznaczenia na różne pojęcia, jednak na nauczycielach (w tym akademickich) spoczywa odpowiedzialność, by zapoznać uczniów/studentów przede wszystkim z oznaczeniami standardowymi w danej dziedzinie. Ponadto powyżej wskazałem ewidentna wadę proponowanego zapisu: nie uogólnia się on na przypadek większej liczby liczb.