Matematyka.pl

Proszę o wyjaśnienie jak rozwiązać ten przykład. Znaleźć obraz zbioru \(\displaystyle{ D}\) przy odwzorowaniu \(\displaystyle{ w=f(z)}\). Narysować zbiór \(\displaystyle{ D}\) i jego obraz, jeśli \(\displaystyle{ D=\left\{ z \in \CC: 0 \le \Re(z) \le 1,\ 0 \le \Im(z) \le 1 \right\},\ f(z)=z^{2}}\).

Niech \(\displaystyle{ z = x + i \cdot y \in \CC }\)

\(\displaystyle{ f (z) = w = (x+ i \cdot y)^2 = x^2 - y^2 + 2 i \cdot x\cdot y = u(x,y) + i \cdot v(x,y)}\)

Zbiór \(\displaystyle{ D }\) jest kwadratem jednostkowym na płaszczyźnie \(\displaystyle{ \CC ,}\) czyli zbiorem punktów:

\(\displaystyle{ D = \left\{ z = \Re(z) + \Im(z) \in \CC: 0 \le \Re(z) \le 1, \ \ 0 \le \Im(z) \le 1 \right\}. }\)

Jego obraz w przekształceniu \(\displaystyle{ f(z) }\)

\(\displaystyle{ f(D) = u(x,y) + i \cdot v(x,y) = 1^2 - y^2 + 2\cdot 1 \cdot y, \ \ y\in [0, 1].}\)

Otrzymujemy układ równań parametrycznych:

\(\displaystyle{ \begin{cases} u(y) = 1 - y^2 \\ v(y) = 2 y \end{cases} }\)

Proszę wyznaczyć z drugiego równania \(\displaystyle{ y }\) i podstawić do równania pierwszego.


Odpowiedź
Obszar o brzegu złożonym z odcinka \(\displaystyle{ [ -1, 1 ]}\) i dwóch symetrycznych względem osi \(\displaystyle{ Ov }\) łuków parabol \(\displaystyle{ \pm u = 1 - \frac{1}{4}v^2. }\)

janusz47 pisze: 15 gru 2021, o 18:44 Niech \(\displaystyle{ z = x + i cdot y \in \CC }\)

\(\displaystyle{ f (z) = w = (x+ i \cdot y)^2 = x^2 - y^2 + 2 i \cdot x\cdot y = u(x,y) + i \cdot v(x,y)}\)

Zbiór \(\displaystyle{ D }\) jest kwadratem jednostkowym na płaszczyźnie \(\displaystyle{ \CC ,}\) czyli zbiorem punktów:

\(\displaystyle{ D = \left\{ z = \Re(z) + \Im(z) \in \CC: 0 \le \Re(z) \le 1, \ \ 0 \le \Im(z) \le 1 \right\}. }\)

To nie jest prawdą

Jego obraz w przekształceniu \(\displaystyle{ f(z) }\)

\(\displaystyle{ f(D) = u(x,y) + i \cdot v(x,y) = 1^2 - y^2 + 2\cdot 1 \cdot y, \ \ y\in [0, 1].}\)

Otrzymujemy układ równań parametrycznych:

\(\displaystyle{ \begin{cases} u(y) = 1 - y^2 \\ v(y) = 2 y \end{cases} }\)

Proszę wyznaczyć z drugiego równania \(\displaystyle{ y }\) i podstawić do równania pierwszego.

Czemu zakładasz, że `x=1`?

Odpowiedź
Obszar o brzegu złożonym z odcinka \(\displaystyle{ [ -1, 1 ]}\) i dwóch symetrycznych względem osi \(\displaystyle{ Ov }\) łuków parabol \(\displaystyle{ \pm u = 1 - \frac{1}{4}v^2. }\)

Nie dziwi Cię, że obrazem kwadratu przez całkiem porządne odwzorowanie jest kilka krzywych?