Matematyka.pl

Udowodnij przy pomocy indukcji matematycznej:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{2k-1}- \frac{1}{2k})= \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} }\)
Kompletnie nie mam pomysłu jak się za to zabrać... poproszę podpowiedź

Podam jedynie wskazówkę do kroku indukcyjnego: \(\displaystyle{ \frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}=\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n+1}}\) i dodajesz tę równość stronami do założenia indukcyjnego.

Nie za bardzo rozumiem wskazówkę z krokiem indukcyjnym.
Pierwszym krokiem indukcyjnym jest sprawdzenie równości dla najniższej wartości.
I nie wiem czy powinnam sprawdzać dla \(\displaystyle{ n=1}\) czy dla \(\displaystyle{ k=1}\) oraz nie wiem, ale zarówno dla n=1 i k=1 nie wychodzi mi równość :/

A, to kwestia nazewnictwa, mnie się utrwaliła baza indukcji i krok indukcyjny.
\(\displaystyle{ k}\) jest tylko oznaczeniem indeksów niejako wewnętrznym, sumy z obu stron są zależne od \(\displaystyle{ n}\) i indukcję przeprowadzasz właśnie po \(\displaystyle{ n}\). Skoro nie wychodzi Ci równość, to może po prostu nie zaznajomiłaś się wcześniej z notacją sigmy?
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{4}k=1+2+3+4\\ \sum_{k=2}^{5}\frac{1}{n+k}=\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\frac{1}{n+4}+\frac{1}{n+5}\\\sum_{i=2}^{n}\frac{1}{i^2+1}=\frac{1}{4+1}+\frac{1}{9+1}+\frac{1}{16+1}+\ldots+\frac{1}{n^2+1}}\)
etc.
Pod sigmą masz dolny zakres, niejako początek, indeksowania, nad sigmą masz koniec indeksowania, a wyrażenie pod sigmą jest pewną funkcją indeksu, i po prostu wyliczasz sobie kolejne wyrazy z zadanego zakresu.

Uzbrojona w tę wiedzę napisz te sumy po obu stronach dla \(\displaystyle{ n=1}\).