Matematyka.pl

Mam problem z rozwiązaniem nierówności typu \(\displaystyle{ x > \frac{1}{x} }\)
Gdzie znajdę wiecej podobnych zadań z rozwiązaniami ?

Znajdziesz to w każdym podręczniku do szkoły średniej.

Zakładamy, że \(x\ne 0\) i sprowadzamy do wspólnego mianownika:\[\frac{x\cdot x}{x}>\frac{1}{x}.\]Przenosimy wszystko na lewą stronę:\[\frac{x^2}{x}-\frac{1}{x}>0.\]Zapisujemy na jednej kresce:\[\frac{x^2-1}{x}>0.\]Mnożymy obustronnie przez \(x^2>0\):\[\frac{x^2(x^2-1)}{x}>0.\]Upraszczamy przez \(x\):\[x(x^2-1)>0.\]Rozkładamy na czynniki wg wzoru skróconego mnożenia:\[x(x-1)(x+1)>0.\]No i teraz rysujemy sobie ,,węża" startując od góry za jedynką, więc\[x\in(-1,0)\cup(1,\infty).\]Założenie \(x\ne 0\) zostało spełnione automatycznie. Na Desmosie narysowałem wykres tego wielomianu, co linkuję poniżej.

Ja to bym najpierw wymnożył obustronnie przez \(\displaystyle{ x^2}\)...

JK

Tak, to znacznie prościej. Jednak wybrałem tę drogę, aby pokazać, co się robi w przypadkach trudniejszych. Co więcej, wybierając drogę okrężną, mamy od razu rozkład na czynniki. Zobaczmy krytycznie:\[x>\frac{1}{x}.\]Zakładamy \(x\ne 0\) i mnożymy przez \(x^2>0\):\[x^3>x\]i dalej\[x^3-x>0.\]Tu mamy wielomian stopnia \(3\) (w trudniejszych przypadkach będzie bardziej skomplikowany) i trzeba go rozłożyć na czynniki. W tym miejscu widzę przewagę drogi okrężnej. Mniej okazji do zrobienia błędu, gotowy rozkład na czynniki, a ostatecznie i tak mniej roboty od grupowania wyrazów lub dzielenia wielomianów (a nie każdy zna schemat Hornera).