Matematyka.pl

Jakie jest prawdopodobieństwo że suma dwóch losowo wybranych liczb dodatnich nie większych niż \(\displaystyle{ 1}\) jest \(\displaystyle{ \le 1}\) a ich iloczyn jest \(\displaystyle{ \le \frac{2}{9} }\).

W tym zadaniu mam problem z calką, (moc A). Funkcja ma prostą \(\displaystyle{ y=1-x}\) oraz hiperbole \(\displaystyle{ y= \frac{2}{9x}}\) . Punkty przecięcia \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) i \(\displaystyle{ \frac{2}{3} }\). Nie mam pojecia jak obliczyć cześć wspolną dla tych wykresów za pomocą całki.

\(\displaystyle{ A = \left \{ (x,y) \in\RR^2: x + y \leq 1, \ \ x\cdot y \leq \frac{2}{9} \right \} }\)

Rysunek.

\(\displaystyle{ |A| = \int_{0}^\frac{1}{3}(1-x)dx + \int_\frac{1}{3}^\frac{2}{3} \frac{2}{9x}dx + \int_\frac{2}{3}^1 (1-x)dx = \ \ ... }\)

Dlaczego \(\displaystyle{ \int_{ \frac{1}{3} }^{ \frac{2}{3} } \frac{1}{x}}\) a nie\(\displaystyle{ \int_{ \frac{1}{3} }^{ \frac{2}{3} } \frac{2}{9x}}\) ?

Dodano po 3 minutach 20 sekundach:
oraz kolejne pytanie : Czy można tutaj zastosować wzór: \(\displaystyle{ \int_{a}^{b} (g(x)-d(x))dx }\)

Tak. \(\displaystyle{ y \leq \frac{2}{9x}. }\)

Można zapisać jako różnicę dwóch całek:

\(\displaystyle{ |A| = \int_{0}^{1} (1-x)dx - \int_\frac{1}{3}^\frac{2}{3} \left [( 1-x) - \frac{2}{9x}\right ]dx }\) (pole trójkąta prostokątnego - pole cięciwy Pitagorasa).

Dodano po 28 minutach 33 sekundach:
\(\displaystyle{ |A| = \frac{5}{18} + \frac{2}{9}\ln(2) + \frac{1}{18} = \frac{1}{3}+\frac{2}{9}\ln(2) \approx 0,487.}\)