Sprawdź, czy szereg jest bezwzględnie zbieżny
: 2 gru 2021, o 19:27
Sprawdź, czy szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{\left| z\right|-1 }{2+i} \right)^n}\)
jest bezwzględnie zbieżny dla wszystkich \(\displaystyle{ z}\) z koła jednostkowego \(\displaystyle{ K(0,1)=\left\{ z:\left| z \right|<1 \right\} }\).
Mój plan byłby taki, żeby wyznaczyć sobie \(\displaystyle{ z_0=1}\), \(\displaystyle{ a_n= \left( \frac{1}{2+i} \right)^n }\), policzyć granicę \(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty }\left| \sqrt[n]{ \frac{1}{(2+i)^n} } \right| }\), dostać promień zbieżności \(\displaystyle{ R}\) i sprawdzić, czy koło jednostkowe zawiera się w kole \(\displaystyle{ K(1,R)}\). Tylko przy podobnych zadaniach nie było modułu przy \(\displaystyle{ z}\) w szeregu i nie bardzo mogę znaleźć przykład z czymś takim i nie wiem co z tym modułem zrobić.
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{\left| z\right|-1 }{2+i} \right)^n}\)
jest bezwzględnie zbieżny dla wszystkich \(\displaystyle{ z}\) z koła jednostkowego \(\displaystyle{ K(0,1)=\left\{ z:\left| z \right|<1 \right\} }\).
Mój plan byłby taki, żeby wyznaczyć sobie \(\displaystyle{ z_0=1}\), \(\displaystyle{ a_n= \left( \frac{1}{2+i} \right)^n }\), policzyć granicę \(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty }\left| \sqrt[n]{ \frac{1}{(2+i)^n} } \right| }\), dostać promień zbieżności \(\displaystyle{ R}\) i sprawdzić, czy koło jednostkowe zawiera się w kole \(\displaystyle{ K(1,R)}\). Tylko przy podobnych zadaniach nie było modułu przy \(\displaystyle{ z}\) w szeregu i nie bardzo mogę znaleźć przykład z czymś takim i nie wiem co z tym modułem zrobić.