Matematyka.pl

Mam pytanie do poniższego zadania:

Osobie w wieku \(\displaystyle{ x}\) lat wystawiono \(\displaystyle{ 30-}\)letnią polisę na życie gwarantującą przez pierwsze \(\displaystyle{ 10}\) lat wypłatę \(\displaystyle{ 15000}\) przez następne \(\displaystyle{ 10}\) lat \(\displaystyle{ 10000}\) i \(\displaystyle{ 5000}\) przez ostatnie \(\displaystyle{ 10}\) lat. Świadczenie wypłacane koniec roku śmierci. Wyznaczyć składkę \(\displaystyle{ E(Z)+D(Z)}\) dla tej polisy. \(\displaystyle{ Z}\) to obecna wartość wypłaty z tej polisy. \(\displaystyle{ Z_1,Z_2,Z_3}\) to wartości obecne wypłat z \(\displaystyle{ 10}\)-letnich polis wystawionych na \(\displaystyle{ x}\)-latka z których wypłaca się \(\displaystyle{ 1}\) na koniec roku śmierci i odroczonych odpowiednio o \(\displaystyle{ 0,10,20}\) lat. Ponadto wiadomo, że:
\(\displaystyle{ Var(Z_1)=0,007225}\) \(\displaystyle{ Cov(Z_1,Z_2)=-0,0033}\)
\(\displaystyle{ Var(Z_2)=0,0036}\) \(\displaystyle{ Cov(Z_1,Z_2)=-0,003}\)
\(\displaystyle{ Var(Z_1)=0,003025}\) \(\displaystyle{ Cov(Z_1,Z_2)=-0,00275}\)

Ok, ale moje pytanie jest takie. Rozwiązanie tego zadania z książki zaczyna się tak:
\(\displaystyle{ Z=5000(3Z_1+2Z_2+Z_3)}\)
Moje pytanie jest skąd to się bierze? Dlaczego mamy tutaj sumę tych zmiennych? Dziwi mnie dlaczego tu się bierze sumę tych zmiennych skoro możliwe jest tylko jedno zdarzenie to znaczy, albo śmierć nastąpi w okresie \(\displaystyle{ 0<T<10}\) i wtedy jest wypłata z pierwszej polisy, a z pozostałych 0, albo \(\displaystyle{ 10<T<20}\) i wtedy jest wypłata z drugiej, a z pozostałych 0, albo \(\displaystyle{ 20<T<30}\) i wtedy wypłata z trzeciej, a z pozostałych \(\displaystyle{ 0}\). Bo to wyrażenie na \(\displaystyle{ Z}\) sugeruje, że możliwa jest wypłata z kilku polis.

Jakby ktoś pomógł mi to wyjaśnić to będę wdzięczny.

Jeśli ktoś się zna, to niech się wypowie. A jak nikt się nie zna, to ja powiem, jak mi się wydaje.

Wydaje mi się, że jest dobrze. Jest napisane, że \(\displaystyle{ Z_1, Z_2, Z_3}\) dotyczą dziesięcioletnich polis, ALE są odroczone w czasie o odpowiednio \(\displaystyle{ 0, 10, 20}\) lat. Więc jeśli \(\displaystyle{ T}\) to czas śmierci tej osoby, to możnaby napisać

\(\displaystyle{ Z_1 = 1_{0 \le T < 10}, \quad Z_2 = 1_{10 \le T < 20}, \quad Z_3 = 1_{20 \le T < 30}}\).

i wtedy \(\displaystyle{ Z = 5000(3Z_1 +2 Z_2 + Z_3)}\) działa tak, jak piszesz - jeśli osoba umrze po np. \(\displaystyle{ 17}\) latach, to \(\displaystyle{ Z_1 = 0, Z_2 = 1, Z_3 = 0}\) i \(\displaystyle{ Z = 10000}\).

Aaa funkcje charakterystyczne, tego nie wziąłem pod uwagę. No tak, to ma sens. Wszak te zbiory \(\displaystyle{ T}\) są rozłączne. Dzięki Tmkk jasno tłumaczysz.