Matematyka.pl

Znaleźć przedziały wklęsłości i wypukłości funkcji oraz punkty przegięcia dla:
\(\displaystyle{ f(x)=x\ln \frac{1}{x^2} }\)

No i mam tutaj problem, bowiem policzyłem pierwszą pochodną: \(\displaystyle{ f'(x)=\ln ( \frac{1}{x^2})-2 }\) i drugą pochodną równą \(\displaystyle{ f''(x)= -\frac{2}{x} }\). No i mam problem co z tym \(\displaystyle{ x=0}\). Ten punkt nie należy do dziedziny, więc czy może być tam punkt przegięcia? Nie mogę nigdzie w materiałach znaleźć informacji o tym, czy punkt przegięcia musi należeć do dziedziny. Bo w tym punkcie pozostałe warunki na punkt przegięcia są spełnione bowiem druga pochodna zmienia znak w tym punkcie. Więc jak to będzie, czy ta funkcja ma w \(\displaystyle{ x=0}\) punkt przegięcia?

Popraw obliczenie pierwszej i drugiej pochodnej funkcji, pamiętając, że pochodna logarytmu naturalnego \(\displaystyle{ [\ln(f(x)]' = \frac{1} {f(x)}\cdot f'(x). }\)

Chyba dobrze policzył pochodne.

pesel pisze: ↑1 gru 2021, o 18:24 Chyba dobrze policzył pochodne.

Ale dlaczego "chyba"?

JK

Słuszne pytanie ? Mnie się nie "chyba" lecz na pewno pokręciło. Pochodne obliczone są poprawnie!

\(\displaystyle{ f(x) = x\cdot \ln\left(\frac{1}{x^2}\right) }\)

\(\displaystyle{ f'(x) = 1\cdot \ln\left(\frac{1}{x^2}\right) + x\cdot \frac{1}{\frac{1}{x^2}} \cdot (-2)x^{-3}= \ln\left(\frac{1}{x^2}\right) -2\frac{x^3}{x^3} = \ln\left(\frac{1}{x^2}\right) -2, }\)

\(\displaystyle{ f^{''}(x) = \frac{1}{\frac{1}{x^2}} \cdot (-2)\cdot x^{-3} = -2 \cdot \frac{x^2}{x^{3}} =-2\cdot \frac{1}{x}. }\)

Dodano po 15 minutach 20 sekundach:
Jaka jest dziedzina funkcji \(\displaystyle{ f, \ \ f' \ \ f^{''} ? }\)

Jaki jest warunek konieczny istnienia punktu przegięcia ?

max123321 pisze: ↑1 gru 2021, o 15:58Nie mogę nigdzie w materiałach znaleźć informacji o tym, czy punkt przegięcia musi należeć do dziedziny.

A jak masz zdefiniowany punkt przegięcia?

Ja uważam, że powinien punkt przegięcia należeć do wykresu, ale zawsze lepiej odnosić się do definicji, które miało się podane.

JK

Dziękuję J. Kraszewski

Czyli według Ciebie punkt przegięcia powinien należeć do wykresu, czyli w tym przypadku w \(\displaystyle{ x=0}\) nie ma punktu przegięcia?

Czy mogą się jeszcze inne osoby wypowiedzieć na ten temat czy punkt przegięcia musi należeć do dziedziny funkcji?

Niestety nie mam dostępu do definicji. Chcę to zrobić tak jak się najczęściej robi. Jeśli nie ma jasności co do tego to chyba przyjmę definicję z wikipedii:
Funkcja w \(\displaystyle{ x=x_0}\) ma punkt przegięcia wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje \(\displaystyle{ r \in \RR_+}\) dla którego jest ona ściśle wklęsła na przedziale \(\displaystyle{ \left[ x_0-r,x_0\right] }\) i ściśle wypukła na przedziale \(\displaystyle{ \left[ x_0,x_0+r\right] }\) lub odwrotnie: ściśle wypukła na przedziale \(\displaystyle{ \left[ x_0-r,x_0\right] }\) i ściśle wklęsła na przedziale \(\displaystyle{ \left[ x_0,x_0+r\right] }\).

Czy według tej definicji punkt przegięcia musi należeć do dziedziny?

max123321 pisze: ↑2 gru 2021, o 15:48Niestety nie mam dostępu do definicji. Chcę to zrobić tak jak się najczęściej robi. Jeśli nie ma jasności co do tego to chyba przyjmę definicję z wikipedii:
Funkcja w \(\displaystyle{ x=x_0}\) ma punkt przegięcia wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje \(\displaystyle{ r \in \RR_+}\) dla którego jest ona ściśle wklęsła na przedziale \(\displaystyle{ \left[ x_0-r,x_0\right] }\) i ściśle wypukła na przedziale \(\displaystyle{ \left[ x_0,x_0+r\right] }\) lub odwrotnie: ściśle wypukła na przedziale \(\displaystyle{ \left[ x_0-r,x_0\right] }\) i ściśle wklęsła na przedziale \(\displaystyle{ \left[ x_0,x_0+r\right] }\).

Jak już cytujesz wiki, to zapomniałeś o kolejnym zdaniu:

Zwykle wymaga się dodatkowo ciągłości funkcji w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\). Niekiedy wymaga się też różniczkowalności w tym punkcie.

A to wymaga, by \(\displaystyle{ x_0}\) należało do dziedziny...

Obawiam się zatem, że nie masz szans na jednoznaczną odpowiedź.

JK

Zakłada się , że jeśli funkcja jest ciągła w \(\displaystyle{ (a, b)}\) i co najmniej dwukrotnie różniczkowalna w \(\displaystyle{ (a, b) \setminus \{x_{0}\} }\)
to
(i)
jeżeli \(\displaystyle{ x_{0} }\) jest punktem przegięcia wykresu funkcji \(\displaystyle{ f, }\) to \(\displaystyle{ f''(x_{0}) = 0 }\) lub nie istnieje \(\displaystyle{ f''(x_{0}),}\)
(ii)
jeżeli \(\displaystyle{ f'' }\) zmienia znak przy przejściu przez \(\displaystyle{ x_{0}, }\)

to \(\displaystyle{ x_{0} }\) jest punktem przegięcia wykresu funkcji \(\displaystyle{ f.}\)