Matematyka.pl

\(\displaystyle{ (x-a)^{x+a}}\)
\(\displaystyle{ a \in \RR}\)
Jak obliczyć pochodną czegoś takiego?

\(\displaystyle{ (x-a)^{x+a}=e^{(x+a)\ln(x-a)}}\)

JK

Mam niby poprawną odpowiedź i jest to suma kilku logarytmów naturalnych.

Można też zastosować pochodną funkcji logarytmicznej (pochodną logarytmiczą).

\(\displaystyle{ f(x) = (x-a)^{x+a} }\)

\(\displaystyle{ \ln(f(x)) = (x+a)\ln(x-a) }\)

Obliczamy pochodną obu stron równania:

\(\displaystyle{ \frac{f'(x)}{f(x)} = [(x+a)\ln(x-a)]' }\)

\(\displaystyle{ f'(x) = f(x)\cdot [(x+a) \cdot \ln(x-a)]' = (x-a)^{x+a} \cdot \left[ (x+a)' \cdot \ln(x-a)+ (x+a)\cdot (\ln(x-a))' \right] = \ \ ...}\)

\(\displaystyle{ (x+a)' = \ \ ...? \ \ (\ln(x-a))' = \ \ ... ?}\)