Matematyka.pl

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ k}\) równanie:
\(\displaystyle{ 3|x-2|-2x=8k-4}\)
ma dwa rozwiązania dodatnie.

Jak to zrobić? Podobno, można graficznie, ale czy da się zrobić to zadanie algebraicznie? Jeśli nie można to proszę o pomoc w rozwiązaniu graficznym.

Po rozdzieleniu na przypadki \(\displaystyle{ x\ge 2, \ x<2}\) masz normalnie równania liniowe z parametrem, których rozwiązanie nie powinno okazać się problemem.

No dobra to liczę tak:
Pierwszy przypadek \(\displaystyle{ x \ge 2 }\)
\(\displaystyle{ 3x-6-2x=8k-4}\)
\(\displaystyle{ x=8k+2 \ge 2}\)
\(\displaystyle{ k \ge 0}\)
Czyli to równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie w przedziale \(\displaystyle{ x \in [ 2,+\infty)}\) dla \(\displaystyle{ k \ge 0}\)
Drugi przypadek \(\displaystyle{ 0<x<2}\)
\(\displaystyle{ -3x+6-2x=8k-4}\)
\(\displaystyle{ x=2- \frac{8}{5}k>0 }\)
\(\displaystyle{ k< \frac{5}{4} }\)
\(\displaystyle{ x<2}\)
\(\displaystyle{ 2- \frac{8}{5}k<2 }\)
\(\displaystyle{ k>0}\)
Czyli to równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie w \(\displaystyle{ x \in (0,2)}\) dla \(\displaystyle{ k \in (0, \frac{5}{4}) }\)
Czyli żeby to równanie miało dwa różne rozwiązania dodatanie to trzeba wziąć część wspólną tych przedziałów dla \(\displaystyle{ k}\). Czyli \(\displaystyle{ k \in (0, \frac{5}{4}) }\). Czy tak jest dobrze? Czy można było to trochę skrócić?

Dodano po 23 godzinach 9 minutach 49 sekundach:
Czy może ktoś potwierdzić albo zaprzeczyć?

max123321 pisze: ↑2 gru 2021, o 15:50Czy tak jest dobrze?

Tak.

max123321 pisze: ↑2 gru 2021, o 15:50Czy można było to trochę skrócić?

Zrobić graficznie...

JK

A jak to zrobić graficznie?

Ja bym to zrobił w ten sposób:
najpierw narysuj sobie w kartezjańskim układzie współrzędnych wykres funkcji \(\displaystyle{ f(x)=3|x-2|}\). Taki odwrócony nieskończony kielich o wierzchołku w punkcie \(\displaystyle{ (2,0)}\), jak masz problem, to najpierw sobie narysuj \(\displaystyle{ f(x)=3x}\), potem wykasuj "ujemną" część (dla ujemnej półprostej) i zastąp odbiciem symetrycznym części dodatniej wykresu względem prostej \(\displaystyle{ x=0}\), a potem sobie to przesuń o dwa w prawo.
Następnie naszkicuj sobie pęk prostych równoległych \(\displaystyle{ y_{a}=2x+a}\). Bez trudu powienienś dostrzec, dla jakich \(\displaystyle{ a}\) otrzymujesz dwa punkty przecięcia na dodatniej półpropstej (graniczne warunki są dość intuicyjne, no nie może ta prosta wypadać pod wspomnianym wierzchołkiem, no i nie może zbyt wysoko przecinać prostej \(\displaystyle{ x=0}\)), a potem wystarczy podstawić \(\displaystyle{ a=8k-4}\), żeby uzyskać stąd warunek na \(\displaystyle{ k}\).