Matematyka.pl

Witam koledzy matematycy i fizycy

Zagadnienie jest następujące - tworzę program który za zadanie ma opisywać ruch kursora myszy na ekranie, i przesyłać dane o tym ruchu na serwer. Do tego, tak przynajmniej się mi wydaje, będę potrzebować wzorów na ruch niejednostajnie zmienny, po różnych trajektoriach. Niestety, to co znajduję w google dotyczy ruchu jednostajnie zmiennego, a jak już w którym cokolwiek wspomniano na interesujący mnie temat było to lakoniczne "wzory opisujące ruch niejednostajnie zmienny wymagają zastosowania pochodnych i całek - działań z zakresu matematyki wyższej".

Wspomóżcie zatem proszę wzorami i linkami. Ja oczywiście będę dalej szukał na własną rękę, ale sądząc po tym, co dotychczas znajdywałem nie mam zbytnio nadziei, i stąd mój post.

Pozdrawiam,
MasterBLB

W skrócie: Prędkość jest pochodną położenia po czasie, a przyspieszenie pochodną prędkości (czyli drugą pochodną położenia). Jeśli przyspieszenie nie jest stałe, mamy do czynienia z ruchem niejednostajnie zmiennym.

Hmmm, a tak bez skrótu, kawa na ławę wszystko?

Nie da się "kawy na ławę" bez konkretnej postaci funkcji \(\displaystyle{ x(t)}\) i \(\displaystyle{ y(t)}\). Jak podasz konkretną ich postać to możemy podać konkretną prędkość i przyspieszenie. Ale jak rozumiem to będzie problem, bo to zależy od tego jak kto ruszy ręką Trzeba to jakoś różniczkować numerycznie. Nie znam się na programowaniu, ale podejrzewam, że program musi mieć jakiś ustalony i bardzo mały czas "próbkowania" \(\displaystyle{ \Delta t}\) i wtedy np. \(\displaystyle{ x}\)-owa składowa prędkości w chwili \(\displaystyle{ t_0}\) będzie w przybliżeniu równa:
\(\displaystyle{ v_x(t_0)\approx\frac{x(t_0+\Delta t)-x(t_0)}{\Delta t}}\).

W ogólnym przypadku wprowadza się tzw. prędkości uogólnione.

Jeżeli ruch układu opisany jest przez odwzorowanie \(\displaystyle{ t \rightarrow q(t)\in \mathcal{M}^{3}, }\)

gdzie

\(\displaystyle{ \mathcal{M}^{3} }\) jest \(\displaystyle{ 3 }\) - wymiarową rozmaitością różniczkowalną, to wektor prędkości punktu \(\displaystyle{ q }\) można przedstawić w dowolnej chwili \(\displaystyle{ t \in T }\) w postaci

\(\displaystyle{ v = \frac{d q_{i}}{dt}\frac{\partial}{\partial q_{i}} = q'_{i} \frac{\partial}{\partial q_{i}} \ \ (*)}\)

Liczby \(\displaystyle{ q_{1}, \ \ q_{2}, \ \ q_{3} }\) nazywa się prędkościami uogólnionymi rozważanego układu. Zgodnie z równaniem \(\displaystyle{ (*) }\) są one wepółrzędnymi wektora prędkości punktu \(\displaystyle{ q }\) w bazie \(\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial q_{i}} }\) (współrzędnymi kierunkowymi krzywej \(\displaystyle{ q(t) \in M^{3}, \ \ t\in T). }\)

Dziękuję, zawsze to jakiś start.
Nurtuje mnie jednak pewna myśl - zakładając naprawdę krótkie odstępy czasu pomiędzy pomiarami położenia kursora myszy, powiedzmy ~1ms, czy w takim razie z punktu widzenia fizyki ruchu nie można by potraktować jako jednostajnie przyspieszony, albo wręcz jednostajny? Coś jak przypadek okręgu, gdzie przy odpowiednim stosunku promienia odpowiednio małą część obwodu można uznać za odcinek prosty - vide Ziemia.

W zasadzie można, ale wtedy nie dostaniesz zależności ciągłych, tylko zmienne skokowo. Przyspieszenie na każdym takim odcinku będzie inne.

Zastanawiam się po co Ci równanie ruchu. Czyżbyś chciał wymuszać w jakiś sposób ruch kursora myszy? Bo przecież jeżeli tylko zbierasz położenia kursora, to dostajesz skończony zbiór punktów i zawsze możesz go aproksymować czym zechcesz. Jeżeli będziesz zakładał jednostajny ruch między punktami odczytu, to dostaniesz łamaną

Dokładnie tak - potrzebuję zduplikować ruch kursora z komputera klienta na serwerze. A przynajmniej tak przypuszczam, że będę potrzebował.

No to równania ruchu nie są Ci do niczego potrzebne.