Matematyka.pl

Witam. Z dachu domu rzucono poziomo kamień z prędkością \(\displaystyle{ v_0}\). Oblicz składową przyspieszenia kamienia prostopadłą do toru po czasie \(\displaystyle{ t}\). Rozwiązanie zadania znalazłem w Korzystne nachylenie dachu domu.
Ale nie bardzo rozumiem dlaczego \(\displaystyle{ \big(g\cdot \sin \alpha \cdot t^{2} \big) /2}\) przyrównujemy do \(\displaystyle{ \frac{a}{\cos \alpha }}\) przy czym "a" to długość boku a nie przyśpieszenie które oznacza się jako "g"
nie bardzo rozumiem skąd wziął się wzór \(\displaystyle{ \frac{a}{\cos \alpha }}\) "s" to pewnie bok dachu nachylony pod kątem alfa
litera "a" oznacza zapewne połowe szerokości dachu. Dlaczego \(\displaystyle{ \big(g\cdot \sin \alpha \cdot t^{2} \big) /2}\) przyrównujemy do \(\displaystyle{ \frac{a}{\cos \alpha }}\) a nie np do \(\displaystyle{ \frac{a}{\sin \alpha }}\) ? albo po prostu do S ? przecież kąt alfa jes zawarty w \(\displaystyle{ \big(g\cdot \sin \alpha \cdot t^{2} \big) /2}\) gdyby ułożyć równanie \(\displaystyle{ S= \big(g\cdot \sin \alpha\cdot t^{2} \big) /2}\) , obliczyć z tego wzoru "t" zmodyfikować wzór do postaci t=...
obliczyć pochodną, przyrównać do zera i obliczyć kąt alfa ?

Z podanej treści zadania wynika, że mamy obliczyć watość wektora prostopadłego do toru, a nie optymalny kąt nachylenia dachu.

Ruch ciała rzuconego pionowo z dachu jest rzutem poziomym z wartością prędkości początkowej \(\displaystyle{ v_{0}. }\)

Wektor przyśpieszenia ziemskiego w tym ruchu jest sumą wektorową:

\(\displaystyle{ \vec{g} = \vec{a}_{s} + \vec{a}_{n} }\)

gdzie:

\(\displaystyle{ \vec{a}_{s} }\) jest wektorem stycznym do toru

\(\displaystyle{ \vec{a}_{n} }\) jest wektorem prostopadłym (normalnym) do toru.

Wartość wektora stycznego do toru \(\displaystyle{ a_{s}(t) }\) obliczamy z pochodnej prędkości stycznej względem czasu:

\(\displaystyle{ a_{s}(t) = v'(t) = \left(\sqrt{v^2_{x}(t) + v^2_{y}(t)}\right)' = \left(\sqrt{v^2_{0} + g^2\cdot t^2}\right)' = \frac{g^2\cdot t}{\sqrt{v^2_{0} + g^2\cdot t^2}} }\)

Wartość wektora prostopadłego (normalnego) do toru w chwili \(\displaystyle{ t }\) jest więc równa:

\(\displaystyle{ a_{n}(t) = \sqrt{g^2 - a^2_{s}(t)} = \sqrt{g^2 - \frac{g^4\cdot t^2}{v^2_{0} +g^2\cdot t^2}} = \sqrt{\frac{v^2_{0}\cdot g^2 + g^4\cdot t^2 - g^4\cdot t^2}{v^2_{0} +g^2 t^2}}= \sqrt{\frac{v^2_{0}\cdot g^2}{v^2_{0} +g^2\cdot t^2}} = \frac{v_{0}\cdot g}{\sqrt{v^2_{0} +g^2 \cdot t^2}}.}\)

Proszę zauważyć, że dla \(\displaystyle{ t = 0 }\) wartość tego wektora

\(\displaystyle{ a_{n} = g, }\)

gdzie

\(\displaystyle{ g = 9,81\frac{m}{s^2}. }\) jest wartością przyśpieszenia ziemskiego.

Dodano po 17 minutach 9 sekundach:
Miarę kąta nachylenia dachu \(\displaystyle{ \phi }\) dachu (jeśli dach nie jest płaski) możemy obliczyć z równoległoboku przyśpieszeń, stosując na przykład twierdzenie kosinusów.

Mój błąd wkleiłem nie ten temat zadania co trzeba
"Pod jakim kątem musi być nachylony dach domu, aby krople deszczu ściekały po nim w
najkrótszym czasie? "to jest temat

Rozwiązanie zadania znalazłem w Korzystne nachylenie dachu domu.
Ale nie bardzo rozumiem dlaczego \(\displaystyle{ \big(g\cdot \sin \alpha \cdot t^{2} \big) /2}\) przyrównujemy do \(\displaystyle{ \frac{a}{\cos \alpha }}\) przy czym "a" to długość boku a nie przyśpieszenie które oznacza się jako "g"
nie bardzo rozumiem skąd wziął się wzór \(\displaystyle{ \frac{a}{\cos \alpha }}\) "s" to pewnie bok dachu nachylony pod kątem alfa
litera "a" oznacza zapewne połowe szerokości dachu. Dlaczego \(\displaystyle{ \big(g\cdot \sin \alpha \cdot t^{2} \big) /2}\) przyrównujemy do \(\displaystyle{ \frac{a}{\cos \alpha }}\) a nie np do \(\displaystyle{ \frac{a}{\sin \alpha }}\) ? albo po prostu do S ? przecież kąt alfa jes zawarty w \(\displaystyle{ \big(g\cdot \sin \alpha \cdot t^{2} \big) /2}\) gdyby ułożyć równanie \(\displaystyle{ S= \big(g\cdot \sin \alpha\cdot t^{2} \big) /2}\) , obliczyć z tego wzoru "t" zmodyfikować wzór do postaci t=...
obliczyć pochodną, przyrównać do zera i obliczyć kąt alfa ?

Matematyczny aspekt rozumiem ładnie się skraca czas itd . Natomiast co do fizycznej części to rozumiem jeszcze \(\displaystyle{ \big(g\cdot \sin \alpha \cdot t^{2} \big) /2}\) natomiast kompletnie nie rozumiem po co jest tam \(\displaystyle{ \frac{a}{\cos \alpha }}\) tym bardziej ze "a" oznacza połowe szerokości dachu czyli poziomy bok a nie pionowy.

janusz47 pisze: 28 lis 2021, o 17:41

Ruch ciała rzuconego pionowo z dachu jest rzutem poziomym z wartością prędkości początkowej \(\displaystyle{ v_{0}. }\)

Myślę, że to jest warte uwiecznienia.

Pomińmy jaki faktycznie jest kształt kropli. Równoległobok miałby wyglądać jak na załączonym rysunku ?
Nie chodzi o obliczenie tylko wartości kąta, chodzi o obliczenie optymalnego kąta

1.Ruch kropli wzdłuż dachu na drodze o długości \(\displaystyle{ l}\).
\(\displaystyle{ l= \frac{g _{x} \cdot t ^{2} }{2} }\), (1)
Gdzie:
- składowa przyśpieszenia wzdłuż dachu ( osi x)- model równi pochyłej :
\(\displaystyle{ g _{x} =g \cdot sin \alpha }\), (2)
- długość dachu
\(\displaystyle{ l= \frac{s}{\cos \alpha } }\), (3)

1.2. Czas spływania z równania(1)
\(\displaystyle{ t= \sqrt{ \frac{2l}{g _{x} } }= \sqrt{ \frac{2s}{g \cdot sin \alpha \cdot \cos \alpha } } }\), (4)
Lub czas \(\displaystyle{ t }\) wyrażony dogodniej przy pomocy jednej funkcji trygonometrycznej
\(\displaystyle{ t=\sqrt{ \frac{4s}{g \cdot sin 2\alpha } } }\), (5)
/ Wykorzystano :\(\displaystyle{ \sin2 \alpha =2\sin \alpha \cdot \cos \alpha }\)/
1.3. Wyrażenie (5) pod pierwiastkiem ma minimalną wartość, gdy mianownik osiągnie wartość maksymalną, a to zachodzi wtedy gdy :
\(\displaystyle{ \sin2 \alpha =1}\)
\(\displaystyle{ 2 \alpha =90}\)
Ostatecznie mamy:
\(\displaystyle{ \alpha =45 ^{\circ} }\)

Matematyczny aspekt wyprowadzenia wzoru rozumiem tylko jak już wspomniałem nie bardzo rozumiem dlaczego zamiast po prostu drogi S jest \(\displaystyle{ \frac{a}{\cos \alpha }}\) ? przecież kąt alfa jest już zawarty w rzucie przyśpieszenia "g" na kierunek tworzącej dachu

Tak to długość drogi.

\(\displaystyle{ \frac{a}{s} = \cos(\alpha) }\)

\(\displaystyle{ s = \frac{a}{\cos(\alpha)} }\)

\(\displaystyle{ a }\) - długość podstawy dachu.

To rozumiem, zauważyłem tylko dlaczego nie można to przyrównać do samego S jeśli znamy długośc tworzącej dachu (długość dachu) ? A w podanych wyprowadzeniach długość dachu "S" zapisuje się jako funkcje szerokości i \(\displaystyle{ cos(\alpha) }\) zamiast po prostu samo "S" ?

Jeśli znamy długość dachu \(\displaystyle{ S }\) to można porównać (tak jak sugerujesz) bezpośrednio z ze składową równoległą drogi.
Jeśli nie znamy długości dachu a znamy długości jego podstawy \(\displaystyle{ a }\) to wtedy wyznaczamy długość drogi z definicji kosinusa w trójkącie prostokątnym.

No, teraz jest wszystko jasne. Dziekuje za odpowiedź