Matematyka.pl

Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ x<-2}\) to \(\displaystyle{ x^3+8>(2x^2+x+15)(x+2).}\)

Nierówność można przekształcić równoważnie do postaci \(\displaystyle{ (x+2)(x^2+3x+11)<0}\). Wyróżnik trójmianu kwadratowego jest ujemny, wiec jednym pierwiastkiem wielomianu jest \(\displaystyle{ x=-2}\). Zatem nierówność jest prawdziwa dla \(\displaystyle{ x<-2}\).

Czy powyższy dowód jest poprawny? Zastanawiam się, czy w ten sposób nie dowodzę twierdzenia odwrotnego, tzn. jeśli zachodzi taka nierówność, to \(\displaystyle{ x<-2}\)...

Witam,

W pierwszej części stwierdzasz, że \(\displaystyle{ x^3+8>(2x^2+x+15)(x+2) \Leftrightarrow (x+2)(x^2+3x+11)<0 }\)

Z własności trójmianu kwadratowego (wartości wyróżnika i znaku współczynnika przy najwyższej potędzę zmiennej) można stwierdzić, że trójmian \(\displaystyle{ x^2+3x+11}\) zawsze przyjmuje wartości dodatnie. Wiemy też, że mnożąc liczbę dodatnią i ujemną otrzymamy liczbę ujemną.

Ponieważ \(\displaystyle{ x<-2}\) to \(\displaystyle{ x+2<0}\) i jednocześnie \(\displaystyle{ x^2+3x+11>0}\) a więc faktycznie \(\displaystyle{ (x+2)(x^2+3x+11)<0}\) co jest równoważne stwierdzeniu, że \(\displaystyle{ x^3+8>(2x^2+x+15)(x+2)}\)

Pozdrawiam,

Michał

mikesz1738 pisze: 26 lis 2021, o 14:31 Wiemy też, że mnożąc liczbę dodatnią i ujemną otrzymamy liczbę ujemną.

Czyli muszę tu skorzystać z założenia, czy mogę po prostu rozwiązać tę nierówność i potem zauważyć, że zbiór rozwiązań "pokrywa się" z założeniem?

nie ma tu żadnego założenia
masz iloczyn 2 czynników, żeby był ujemny to muszą być różnych znaków, trójmian zawsze jest dodatni więc czynnik liniowy musi być zawsze ujemny żeby się zgadzało

Moim zdaniem można również tak jak sugerujesz. Jeśli rozwiążesz tą nierówność i sprawdzisz, że do zbioru rozwiązań należą wszystkie liczby mniejsze od \(\displaystyle{ -2}\) to potwierdzisz, że jeśli \(\displaystyle{ x<-2}\) to nierówność jest spełniona co jest celem zadania. Wydaje mi się nawet, że tutaj zbiór rozwiązań nie musi się dokładnie pokrywać z przedziałem \(\displaystyle{ \left(- \infty ,-2 \right) }\) bo ta nierówność może być spełniona również dla innych wartości zmiennej \(\displaystyle{ x}\) ale to nas nie interesuje bo nam zależy tutaj tylko na tym żeby nierówność była spełniona dla wszystkich \(\displaystyle{ x<-2}\).

Dobrze by było żeby ktoś mądrzejszy to sprawdził.

inusia146 pisze: 26 lis 2021, o 16:39Czyli muszę tu skorzystać z założenia, czy mogę po prostu rozwiązać tę nierówność i potem zauważyć, że zbiór rozwiązań "pokrywa się" z założeniem?

Tak naprawdę tutaj warunki \(\displaystyle{ x<-2}\) i \(\displaystyle{ x^3+8>(2x^2+x+15)(x+2)}\) są równoważne. Jak rozwiążesz nierówność i zauważysz, że zbiór rozwiązań pokrywa się z założeniem, to jest to trochę kwestia słów, które użyjesz. Jeśli np. napiszesz, że jeśli \(\displaystyle{ x^3+8>(2x^2+x+15)(x+2),}\) to \(\displaystyle{ x<-2}\), to wówczas formalnie uzasadnisz tylko twierdzenie odwrotne. Jeśli nie odwołujesz się w rozwiązaniu do założenia, to musisz zadbać o to, by było jasne, że wszystkie wykonywane przejścia w rozumowaniu są równoważne.

Dlatego prościej jest zrobić tak, jak napisał mikesz1738.

JK