Matematyka.pl

Otóż wczoraj szukałem jawnego wzoru dla pewnego ciągu rekurencyjnego metodą szeregów i doszedłem do poniższego równania różniczkowego, znalazłem nawet czynnik całkujący ale dalej się powstrzymałem bo zdrowie najważniejsze, a tak to wygląda jakby ktoś cierpiał na bezsenność:

\(\displaystyle{ y'(x-x^2+x^3)=x^2+y(1-x^2+x), y(0)=1}\)

Można też za pomocą szeregów...(chyba najsensowniejsza myśl)...

Maxima daje coś takiego.

\[y=\frac{x\, {{e}^{\tfrac{2 \operatorname{atan}\left( \frac{2 x-1}{\sqrt{3}}\right) }{\sqrt{3}}}}\, \left( \displaystyle\int {\left. {e^{-\frac{2 \operatorname{atan}\left( \frac{2 x-1}{\sqrt{3}}\right) }{\sqrt{3}}}}\right.}+\mathit{c}\right) }{{{x}^{2}}-x+1}\]

W sumie ładny wynik a ta całka to mutacje funkcji Gamma ...

Czyli trudnością było policzenie potrzebnych całek bo samo równanie jest liniowe i można je rozwiązać zarówno uzmienniając stałą
jak i czynnikiem całkującym (chociaż czynnik to bardziej służy do sprowadzania równań do równania zupełnego)